Номер 646, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 646, страница 256.

Условие.

646. Решить уравнение:

1) $(x-9)(2-x)=0;$

2) $(x+4)(3-x)=0;$

3) $2x^2-x=0;$

4) $3x^2+5x=0;$

5) $1-4x^2=0;$

6) $9x^2-4=0;$

7) $\frac{5x^2-x}{x}=0;$

8) $\frac{3x^2+x}{x}=0.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $(x-9)(2-x)=0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения.
Первый множитель: $x-9=0$, откуда $x_1=9$.
Второй множитель: $2-x=0$, откуда $x_2=2$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2; 9.

2) $(x+4)(3-x)=0$
Аналогично предыдущему пункту, приравниваем каждый множитель к нулю.
Первый множитель: $x+4=0$, откуда $x_1=-4$.
Второй множитель: $3-x=0$, откуда $x_2=3$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: -4; 3.

3) $2x^2-x=0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x-1)=0$
Теперь снова имеем произведение, равное нулю. Значит, либо $x=0$, либо $2x-1=0$.
Первый корень: $x_1=0$.
Решаем второе уравнение: $2x-1=0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x_2=0,5$.
Ответ: 0; 0,5.

4) $3x^2+5x=0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x+5)=0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x_1=0$
$3x+5=0 \Rightarrow 3x=-5 \Rightarrow x_2=-\frac{5}{3}$.
Ответ: 0; $-\frac{5}{3}$.

5) $1-4x^2=0$
Это неполное квадратное уравнение. Можно решить его, выразив $x^2$ или разложив на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Способ 1: Выразим $x^2$.
$1=4x^2 \Rightarrow x^2=\frac{1}{4}$.
Извлекаем квадратный корень: $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$, откуда $x_1=0,5$ и $x_2=-0,5$.
Ответ: -0,5; 0,5.

6) $9x^2-4=0$
Это неполное квадратное уравнение. Решим его, выразив $x^2$.
$9x^2=4 \Rightarrow x^2=\frac{4}{9}$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$.
Получаем два корня: $x_1=\frac{2}{3}$ и $x_2=-\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$; $\frac{2}{3}$.

7) $\frac{5x^2-x}{x}=0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x \ne 0$.
Теперь приравняем числитель к нулю: $5x^2-x=0$.
Выносим $x$ за скобки: $x(5x-1)=0$.
Получаем два возможных корня: $x=0$ или $5x-1=0 \Rightarrow 5x=1 \Rightarrow x=0,2$.
Проверяем корни по ОДЗ. Корень $x=0$ не удовлетворяет условию $x \ne 0$, поэтому он является посторонним. Корень $x=0,2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 0,2.

8) $\frac{3x^2+x}{x}=0$
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель - нет.
ОДЗ: $x \ne 0$.
Приравниваем числитель к нулю: $3x^2+x=0$.
Выносим $x$ за скобки: $x(3x+1)=0$.
Возможные корни: $x=0$ или $3x+1=0 \Rightarrow 3x=-1 \Rightarrow x=-\frac{1}{3}$.
Корень $x=0$ не входит в ОДЗ. Корень $x=-\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.