Номер 9, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 9, страница 254.

Условие.

9. При каких значениях $a$ уравнение $ax^2 - 2ax - a + 2 = 0$

имеет один корень?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данное уравнение $ax^2 - 2ax - a + 2 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Оно будет иметь ровно один корень в двух случаях, которые мы рассмотрим поочередно.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - 2 \cdot 0 \cdot x - 0 + 2 = 0$

$2 = 0$

Полученное равенство является неверным, следовательно, при $a = 0$ у уравнения нет корней.

Случай 2: Уравнение является квадратным и имеет один корень.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ отличен от нуля ($a \neq 0$), а дискриминант $D$ равен нулю.

Коэффициенты уравнения: $A = a$, $B = -2a$, $C = -a + 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot a \cdot (-a + 2)$

$D = 4a^2 - 4(-a^2 + 2a) = 4a^2 + 4a^2 - 8a = 8a^2 - 8a$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $a$, при которых уравнение имеет один корень:

$8a^2 - 8a = 0$

Вынесем общий множитель $8a$ за скобки:

$8a(a - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$a_1 = 0$

$a_2 = 1$

Поскольку в данном случае мы рассматриваем условие $a \neq 0$, то значение $a = 0$ исключается. Таким образом, остается единственное решение $a = 1$.

Объединяя результаты обоих случаев, мы заключаем, что исходное уравнение имеет ровно один корень только при $a = 1$.

Ответ: $1$.