Номер 11, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 11, страница 254.

Условие.

11. Решить уравнение

$\frac{x^2 + 2x + 7}{x^2 + 2x + 3} = x^2 + 2x + 4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данное уравнение:

$$ \frac{x^2 + 2x + 7}{x^2 + 2x + 3} = x^2 + 2x + 4 $$

Для решения этого уравнения удобно использовать метод замены переменной. Заметим, что выражение $x^2 + 2x$ встречается в уравнении несколько раз.

Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение можно переписать в более простом виде:

$$ \frac{t + 7}{t + 3} = t + 4 $$

Прежде чем решать, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю, то есть $x^2 + 2x + 3 \neq 0$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 3$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент ($a=1$) положителен, то выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда больше нуля при любом действительном значении $x$. Это значит, что ОДЗ для исходного уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), и знаменатель $t + 3$ никогда не равен нулю.

Теперь решим уравнение относительно $t$. Умножим обе части уравнения на $t + 3$:

$ t + 7 = (t + 4)(t + 3) $

Раскроем скобки в правой части:

$ t + 7 = t^2 + 3t + 4t + 12 $

$ t + 7 = t^2 + 7t + 12 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $at^2+bt+c=0$:

$ t^2 + 7t - t + 12 - 7 = 0 $

$ t^2 + 6t + 5 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Легко подобрать корни:

$ t_1 = -1 $, $ t_2 = -5 $

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = -1$

$ x^2 + 2x = -1 $

$ x^2 + 2x + 1 = 0 $

Это полный квадрат:

$ (x + 1)^2 = 0 $

Отсюда получаем один корень:

$ x = -1 $

Случай 2: $t = -5$

$ x^2 + 2x = -5 $

$ x^2 + 2x + 5 = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное решение исходного уравнения — это $x = -1$.

Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение.

При $x=-1$:

Левая часть: $ \frac{(-1)^2 + 2(-1) + 7}{(-1)^2 + 2(-1) + 3} = \frac{1 - 2 + 7}{1 - 2 + 3} = \frac{6}{2} = 3 $.

Правая часть: $ (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3 $.

$3 = 3$. Корень найден верно.

Ответ: $x = -1$.