Страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

645. Вычислить:

1) $\frac{27}{32} \cdot \frac{8}{162} \cdot \frac{72}{69}$;

2) $\frac{38}{147} \cdot \frac{91}{152} \cdot \frac{65}{264}$;

3) $\left(\frac{5}{8} + \frac{7}{12}\right) \cdot \left(3\frac{23}{58} - 2\frac{9}{58}\right)$;

4) $\left(\frac{3}{4} + \frac{2}{9}\right) \cdot \left(2\frac{23}{56} - 3\frac{15}{56}\right)$;

5) $34,17:1,7 + \left(2\frac{3}{4} + 0,15\right):\frac{4}{5} - 23\frac{3}{8}$;

6) $5,86 - 3\frac{5}{6} \cdot \frac{15}{23} + \frac{15}{28} : 4\frac{2}{7}$;

7) $\frac{12\frac{4}{5} \cdot 3\frac{3}{4} - 4\frac{4}{11} \cdot 4\frac{1}{8}}{11\frac{2}{3} \cdot 2\frac{4}{7}}$;

8) $\frac{5\frac{1}{7} \cdot 5\frac{1}{4} + 5\frac{5}{8} \cdot 3\frac{1}{5}}{10\frac{5}{13} : 1\frac{1}{26}}$;

1) $ \frac{27}{32} \cdot \frac{8}{162} \cdot \frac{72}{69} $

Для вычисления данного выражения представим его в виде одной дроби и выполним сокращения:

$ \frac{27 \cdot 8 \cdot 72}{32 \cdot 162 \cdot 69} $

Сокращаем 8 и 32 (в знаменателе остается 4):

$ \frac{27 \cdot 1 \cdot 72}{4 \cdot 162 \cdot 69} $

Сокращаем 72 и 4 (в числителе остается 18):

$ \frac{27 \cdot 18}{1 \cdot 162 \cdot 69} $

Сокращаем 27 и 162 (так как $162 = 6 \cdot 27$, в знаменателе остается 6):

$ \frac{1 \cdot 18}{6 \cdot 69} $

Сокращаем 18 и 6 (в числителе остается 3):

$ \frac{3}{69} $

Сокращаем 3 и 69 (в знаменателе остается 23):

$ \frac{1}{23} $

Ответ: $ \frac{1}{23} $

2) $ \frac{38}{147} \cdot \frac{91}{152} : \frac{65}{264} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{38}{147} \cdot \frac{91}{152} \cdot \frac{264}{65} = \frac{38 \cdot 91 \cdot 264}{147 \cdot 152 \cdot 65} $

Выполним сокращения:

Сокращаем 38 и 152 ($152 = 4 \cdot 38$):

$ \frac{1 \cdot 91 \cdot 264}{147 \cdot 4 \cdot 65} $

Сокращаем 91 и 147 (на 7; $91 = 13 \cdot 7, 147 = 21 \cdot 7$):

$ \frac{1 \cdot 13 \cdot 264}{21 \cdot 4 \cdot 65} $

Сокращаем 13 и 65 ($65 = 5 \cdot 13$):

$ \frac{1 \cdot 1 \cdot 264}{21 \cdot 4 \cdot 5} $

Сокращаем 264 и 4 ($264 = 66 \cdot 4$):

$ \frac{66}{21 \cdot 5} $

Сокращаем 66 и 21 (на 3; $66 = 22 \cdot 3, 21 = 7 \cdot 3$):

$ \frac{22}{7 \cdot 5} = \frac{22}{35} $

Ответ: $ \frac{22}{35} $

3) $ \left( \frac{5}{8} + \frac{7}{12} \right) \cdot \left( 3\frac{23}{58} - 2\frac{9}{58} \right) $

Выполним действия в скобках поочередно.

1) $ \frac{5}{8} + \frac{7}{12} $. Общий знаменатель 24: $ \frac{5 \cdot 3}{24} + \frac{7 \cdot 2}{24} = \frac{15+14}{24} = \frac{29}{24} $.

2) $ 3\frac{23}{58} - 2\frac{9}{58} = (3-2) + (\frac{23}{58}-\frac{9}{58}) = 1 + \frac{14}{58} = 1\frac{14}{58} = 1\frac{7}{29} $.

Теперь перемножим результаты:

$ \frac{29}{24} \cdot 1\frac{7}{29} = \frac{29}{24} \cdot \frac{1 \cdot 29 + 7}{29} = \frac{29}{24} \cdot \frac{36}{29} $.

Сокращаем 29:

$ \frac{36}{24} = \frac{3 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $.

Ответ: $ 1\frac{1}{2} $

4) $ \left( \frac{3}{4} + \frac{2}{9} \right) \cdot \left( 2\frac{23}{56} - 3\frac{15}{56} \right) $

Выполним действия в скобках поочередно.

1) $ \frac{3}{4} + \frac{2}{9} $. Общий знаменатель 36: $ \frac{3 \cdot 9}{36} + \frac{2 \cdot 4}{36} = \frac{27+8}{36} = \frac{35}{36} $.

2) $ 2\frac{23}{56} - 3\frac{15}{56} $. Переведем в неправильные дроби: $ \frac{2 \cdot 56 + 23}{56} - \frac{3 \cdot 56 + 15}{56} = \frac{112+23}{56} - \frac{168+15}{56} = \frac{135}{56} - \frac{183}{56} = \frac{135-183}{56} = -\frac{48}{56} $.

Сокращаем дробь: $ -\frac{48}{56} = -\frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 8} = -\frac{6}{7} $.

Теперь перемножим результаты:

$ \frac{35}{36} \cdot \left( -\frac{6}{7} \right) = - \frac{35 \cdot 6}{36 \cdot 7} = - \frac{5 \cdot 7 \cdot 6}{6 \cdot 6 \cdot 7} = - \frac{5}{6} $.

Ответ: $ -\frac{5}{6} $

5) $ 34,17 : 1,7 + \left( 2\frac{3}{4} + 0,15 \right) : \frac{4}{5} - 23\frac{3}{8} $

Соблюдаем порядок действий:

1) $ 34,17 : 1,7 = 341,7 : 17 = 20,1 $.

2) $ 2\frac{3}{4} + 0,15 = 2,75 + 0,15 = 2,9 $.

3) $ 2,9 : \frac{4}{5} = 2,9 : 0,8 = 29 : 8 = 3,625 $.

4) $ 23\frac{3}{8} = 23 + 3:8 = 23 + 0,375 = 23,375 $.

Подставим все значения в исходное выражение:

$ 20,1 + 3,625 - 23,375 = 23,725 - 23,375 = 0,35 $.

Ответ: $ 0,35 $

6) $ 5,86 - 3\frac{5}{6} \cdot \frac{15}{23} + \frac{15}{28} : 4\frac{2}{7} $

Соблюдаем порядок действий:

1) $ 3\frac{5}{6} \cdot \frac{15}{23} = \frac{23}{6} \cdot \frac{15}{23} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2,5 $.

2) $ \frac{15}{28} : 4\frac{2}{7} = \frac{15}{28} : \frac{30}{7} = \frac{15}{28} \cdot \frac{7}{30} = \frac{15 \cdot 7}{28 \cdot 30} = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8} = 0,125 $.

Подставим все значения в исходное выражение:

$ 5,86 - 2,5 + 0,125 = 3,36 + 0,125 = 3,485 $.

Ответ: $ 3,485 $

7) $ \frac{12\frac{4}{5} \cdot 3\frac{3}{4} - 4\frac{4}{11} \cdot 4\frac{1}{8}}{11\frac{2}{3} : 2\frac{4}{7}} $

Сначала вычислим числитель:

1) $ 12\frac{4}{5} \cdot 3\frac{3}{4} = \frac{64}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{64 \cdot 15}{5 \cdot 4} = 16 \cdot 3 = 48 $.

2) $ 4\frac{4}{11} \cdot 4\frac{1}{8} = \frac{48}{11} \cdot \frac{33}{8} = \frac{48 \cdot 33}{11 \cdot 8} = 6 \cdot 3 = 18 $.

3) Числитель: $ 48 - 18 = 30 $.

Теперь вычислим знаменатель:

4) $ 11\frac{2}{3} : 2\frac{4}{7} = \frac{35}{3} : \frac{18}{7} = \frac{35}{3} \cdot \frac{7}{18} = \frac{245}{54} $.

Найдем значение всей дроби:

$ \frac{30}{\frac{245}{54}} = 30 : \frac{245}{54} = 30 \cdot \frac{54}{245} = \frac{30 \cdot 54}{245} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 54}{49 \cdot 5} = \frac{6 \cdot 54}{49} = \frac{324}{49} = 6\frac{30}{49} $.

Ответ: $ 6\frac{30}{49} $

8) $ \frac{5\frac{1}{7} \cdot 5\frac{1}{4} + 5\frac{5}{8} \cdot 3\frac{1}{5}}{10\frac{5}{13} : 1\frac{1}{26}} $

Сначала вычислим числитель:

1) $ 5\frac{1}{7} \cdot 5\frac{1}{4} = \frac{36}{7} \cdot \frac{21}{4} = \frac{36 \cdot 21}{7 \cdot 4} = 9 \cdot 3 = 27 $.

2) $ 5\frac{5}{8} \cdot 3\frac{1}{5} = \frac{45}{8} \cdot \frac{16}{5} = \frac{45 \cdot 16}{8 \cdot 5} = 9 \cdot 2 = 18 $.

3) Числитель: $ 27 + 18 = 45 $.

Теперь вычислим знаменатель:

4) $ 10\frac{5}{13} : 1\frac{1}{26} = \frac{135}{13} : \frac{27}{26} = \frac{135}{13} \cdot \frac{26}{27} = \frac{135 \cdot 26}{13 \cdot 27} = 5 \cdot 2 = 10 $.

Найдем значение всей дроби:

$ \frac{45}{10} = 4,5 = 4\frac{1}{2} $.

Ответ: $ 4\frac{1}{2} $

646. Решить уравнение:

1) $(x-9)(2-x)=0;$

2) $(x+4)(3-x)=0;$

3) $2x^2-x=0;$

4) $3x^2+5x=0;$

5) $1-4x^2=0;$

6) $9x^2-4=0;$

7) $\frac{5x^2-x}{x}=0;$

8) $\frac{3x^2+x}{x}=0.$

1) $(x-9)(2-x)=0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения.
Первый множитель: $x-9=0$, откуда $x_1=9$.
Второй множитель: $2-x=0$, откуда $x_2=2$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2; 9.

2) $(x+4)(3-x)=0$
Аналогично предыдущему пункту, приравниваем каждый множитель к нулю.
Первый множитель: $x+4=0$, откуда $x_1=-4$.
Второй множитель: $3-x=0$, откуда $x_2=3$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: -4; 3.

3) $2x^2-x=0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x-1)=0$
Теперь снова имеем произведение, равное нулю. Значит, либо $x=0$, либо $2x-1=0$.
Первый корень: $x_1=0$.
Решаем второе уравнение: $2x-1=0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x_2=0,5$.
Ответ: 0; 0,5.

4) $3x^2+5x=0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x+5)=0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x_1=0$
$3x+5=0 \Rightarrow 3x=-5 \Rightarrow x_2=-\frac{5}{3}$.
Ответ: 0; $-\frac{5}{3}$.

5) $1-4x^2=0$
Это неполное квадратное уравнение. Можно решить его, выразив $x^2$ или разложив на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Способ 1: Выразим $x^2$.
$1=4x^2 \Rightarrow x^2=\frac{1}{4}$.
Извлекаем квадратный корень: $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$, откуда $x_1=0,5$ и $x_2=-0,5$.
Ответ: -0,5; 0,5.

6) $9x^2-4=0$
Это неполное квадратное уравнение. Решим его, выразив $x^2$.
$9x^2=4 \Rightarrow x^2=\frac{4}{9}$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$.
Получаем два корня: $x_1=\frac{2}{3}$ и $x_2=-\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$; $\frac{2}{3}$.

7) $\frac{5x^2-x}{x}=0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x \ne 0$.
Теперь приравняем числитель к нулю: $5x^2-x=0$.
Выносим $x$ за скобки: $x(5x-1)=0$.
Получаем два возможных корня: $x=0$ или $5x-1=0 \Rightarrow 5x=1 \Rightarrow x=0,2$.
Проверяем корни по ОДЗ. Корень $x=0$ не удовлетворяет условию $x \ne 0$, поэтому он является посторонним. Корень $x=0,2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 0,2.

8) $\frac{3x^2+x}{x}=0$
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель - нет.
ОДЗ: $x \ne 0$.
Приравниваем числитель к нулю: $3x^2+x=0$.
Выносим $x$ за скобки: $x(3x+1)=0$.
Возможные корни: $x=0$ или $3x+1=0 \Rightarrow 3x=-1 \Rightarrow x=-\frac{1}{3}$.
Корень $x=0$ не входит в ОДЗ. Корень $x=-\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

647. Сократить дробь:

1) $\frac{a^2 - 16}{a^2 - 8a + 16}$;

2) $\frac{4 - a^2}{a + 2}$;

3) $\frac{4x^2 - 9}{2x^2 + 3x}$;

4) $\frac{3b^2 - 12b + 12}{b^2 - 4}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-16}{a^2-8a+16}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a^2-16$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$a^2-16 = a^2 - 4^2 = (a-4)(a+4)$.
Знаменатель $a^2-8a+16$ является полным квадратом, который раскладывается по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:
$a^2-8a+16 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = (a-4)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(a-4)(a+4)}{(a-4)^2} = \frac{(a-4)(a+4)}{(a-4)(a-4)}$.
Сокращаем общий множитель $(a-4)$:
$\frac{a+4}{a-4}$.
Ответ: $\frac{a+4}{a-4}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{4-a^2}{a+2}$.
Разложим числитель $4-a^2$ как разность квадратов по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$4-a^2 = 2^2 - a^2 = (2-a)(2+a)$.
Знаменатель равен $a+2$.
Подставим разложенный числитель в дробь:
$\frac{(2-a)(2+a)}{a+2}$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($2+a = a+2$), мы можем сократить этот общий множитель:
$2-a$.
Ответ: $2-a$.

3) Сократим дробь $\frac{4x^2-9}{2x^2+3x}$.
Числитель $4x^2-9$ является разностью квадратов:
$4x^2-9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3)$.
В знаменателе $2x^2+3x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$2x^2+3x = x(2x+3)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(2x-3)(2x+3)}{x(2x+3)}$.
Сократим общий множитель $(2x+3)$:
$\frac{2x-3}{x}$.
Ответ: $\frac{2x-3}{x}$.

4) Сократим дробь $\frac{3b^2-12b+12}{b^2-4}$.
В числителе $3b^2-12b+12$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(b^2-4b+4)$.
Выражение в скобках, $b^2-4b+4$, является полным квадратом:
$b^2-4b+4 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = (b-2)^2$.
Таким образом, числитель равен $3(b-2)^2$.
Знаменатель $b^2-4$ является разностью квадратов:
$b^2-4 = b^2 - 2^2 = (b-2)(b+2)$.
Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{3(b-2)^2}{(b-2)(b+2)} = \frac{3(b-2)(b-2)}{(b-2)(b+2)}$.
Сократим общий множитель $(b-2)$:
$\frac{3(b-2)}{b+2}$.
Ответ: $\frac{3(b-2)}{b+2}$.

Выполнить действия (648–652).

648. 1) $ \frac{a-b}{ab} - \frac{a-c}{ac}; $ 2) $ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{ab^2} + \frac{1}{a^2b}; $ 3) $ \frac{1}{14x^3} - \frac{1}{21x^2y} - \frac{1}{4xy^2}; $ 4) $ \frac{2}{3x^2y} + \frac{3}{5xy^2} - \frac{5}{4y^3}. $

1) $\frac{a-b}{ab} - \frac{a-c}{ac}$
Чтобы выполнить вычитание дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Для знаменателей $ab$ и $ac$ наименьшим общим знаменателем является $abc$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
- для первой дроби $\frac{a-b}{ab}$ дополнительный множитель: $\frac{abc}{ab} = c$;
- для второй дроби $\frac{a-c}{ac}$ дополнительный множитель: $\frac{abc}{ac} = b$.
Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:
$\frac{c(a-b)}{abc} - \frac{b(a-c)}{abc} = \frac{c(a-b) - b(a-c)}{abc}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{ac - bc - (ab - bc)}{abc} = \frac{ac - bc - ab + bc}{abc}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{ac - ab}{abc}$
Вынесем общий множитель $a$ в числителе за скобки и сократим дробь:
$\frac{a(c-b)}{abc} = \frac{c-b}{bc}$
Ответ: $\frac{c-b}{bc}$

2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{ab^2} + \frac{1}{a^2b}$
Для сложения дробей найдем их наименьший общий знаменатель. Для знаменателей $a^2$, $ab^2$ и $a^2b$ он равен $a^2b^2$.
Найдем дополнительные множители:
- для $\frac{1}{a^2}$: $\frac{a^2b^2}{a^2} = b^2$;
- для $\frac{1}{ab^2}$: $\frac{a^2b^2}{ab^2} = a$;
- для $\frac{1}{a^2b}$: $\frac{a^2b^2}{a^2b} = b$.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:
$\frac{1 \cdot b^2}{a^2b^2} + \frac{1 \cdot a}{a^2b^2} + \frac{1 \cdot b}{a^2b^2} = \frac{b^2 + a + b}{a^2b^2}$
Ответ: $\frac{a+b+b^2}{a^2b^2}$

3) $\frac{1}{14x^3} - \frac{1}{21x^2y} - \frac{1}{4xy^2}$
Найдем наименьший общий знаменатель. Сначала для числовых коэффициентов 14, 21 и 4.
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
$4 = 2^2$
НОК(14, 21, 4) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.
Теперь для переменных частей: $x^3$, $x^2y$, $xy^2$. Берем переменные с наибольшими показателями степени: $x^3$ и $y^2$.
Общий знаменатель: $84x^3y^2$.
Найдем дополнительные множители:
- для $\frac{1}{14x^3}$: $\frac{84x^3y^2}{14x^3} = 6y^2$;
- для $\frac{1}{21x^2y}$: $\frac{84x^3y^2}{21x^2y} = 4xy$;
- для $\frac{1}{4xy^2}$: $\frac{84x^3y^2}{4xy^2} = 21x^2$.
Выполним действия:
$\frac{1 \cdot 6y^2}{84x^3y^2} - \frac{1 \cdot 4xy}{84x^3y^2} - \frac{1 \cdot 21x^2}{84x^3y^2} = \frac{6y^2 - 4xy - 21x^2}{84x^3y^2}$
Ответ: $\frac{6y^2 - 4xy - 21x^2}{84x^3y^2}$

4) $\frac{2}{3x^2y} + \frac{3}{5xy^2} - \frac{5}{4y^3}$
Найдем наименьший общий знаменатель. Для коэффициентов 3, 5 и 4 НОК(3, 5, 4) = 60.
Для переменных частей $x^2y$, $xy^2$ и $y^3$ общий знаменатель будет $x^2y^3$.
Итого, общий знаменатель равен $60x^2y^3$.
Найдем дополнительные множители:
- для $\frac{2}{3x^2y}$: $\frac{60x^2y^3}{3x^2y} = 20y^2$;
- для $\frac{3}{5xy^2}$: $\frac{60x^2y^3}{5xy^2} = 12xy$;
- для $\frac{5}{4y^3}$: $\frac{60x^2y^3}{4y^3} = 15x^2$.
Выполним действия:
$\frac{2 \cdot 20y^2}{60x^2y^3} + \frac{3 \cdot 12xy}{60x^2y^3} - \frac{5 \cdot 15x^2}{60x^2y^3} = \frac{40y^2 + 36xy - 75x^2}{60x^2y^3}$
Ответ: $\frac{40y^2 + 36xy - 75x^2}{60x^2y^3}$

649. 1) $1+a-\frac{a-1}{a}+\frac{a^2-1}{2a}-\frac{3a}{2};$

2) $\frac{a^2-3b^2}{ab^3}+\frac{2}{ab}+\frac{ab+b^2}{a^2b^2};$

3) $\frac{a^2+5a-4}{16-a^2}+\frac{2a}{8a+2a^2};$

4) $\frac{b}{9}-\frac{4b}{6b-36}+\frac{2}{3}-\frac{4}{6-b}.$

1) Чтобы упростить выражение $1 + a - \frac{a - 1}{a} + \frac{a^2 - 1}{2a} - \frac{3a}{2}$, приведем все его члены к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $a$, $2a$, $2$. Наименьший общий знаменатель для них — $2a$.

Представим каждый член выражения в виде дроби со знаменателем $2a$:

$1 = \frac{2a}{2a}$

$a = \frac{a \cdot 2a}{2a} = \frac{2a^2}{2a}$

$-\frac{a - 1}{a} = -\frac{(a - 1) \cdot 2}{a \cdot 2} = -\frac{2a - 2}{2a}$

$\frac{a^2 - 1}{2a}$ (дробь уже имеет нужный знаменатель)

$-\frac{3a}{2} = -\frac{3a \cdot a}{2 \cdot a} = -\frac{3a^2}{2a}$

Теперь сложим все дроби:

$\frac{2a}{2a} + \frac{2a^2}{2a} - \frac{2a - 2}{2a} + \frac{a^2 - 1}{2a} - \frac{3a^2}{2a} = \frac{2a + 2a^2 - (2a - 2) + (a^2 - 1) - 3a^2}{2a}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a + 2a^2 - 2a + 2 + a^2 - 1 - 3a^2}{2a} = \frac{(2a^2 + a^2 - 3a^2) + (2a - 2a) + (2 - 1)}{2a} = \frac{0 + 0 + 1}{2a} = \frac{1}{2a}$

Ответ: $\frac{1}{2a}$

2) Для упрощения выражения $\frac{a^2 - 3b^2}{ab^3} + \frac{2}{ab} + \frac{ab + b^2}{a^2b^2}$ найдем общий знаменатель. Знаменатели: $ab^3$, $ab$, $a^2b^2$. Наименьший общий знаменатель — это выражение, содержащее каждый множитель в наивысшей встречающейся степени. Для $a$ это $a^2$, для $b$ это $b^3$. Таким образом, общий знаменатель — $a^2b^3$.

Приведем каждую дробь к знаменателю $a^2b^3$:

$\frac{a^2 - 3b^2}{ab^3} = \frac{(a^2 - 3b^2) \cdot a}{ab^3 \cdot a} = \frac{a^3 - 3ab^2}{a^2b^3}$

$\frac{2}{ab} = \frac{2 \cdot ab^2}{ab \cdot ab^2} = \frac{2ab^2}{a^2b^3}$

$\frac{ab + b^2}{a^2b^2} = \frac{(ab + b^2) \cdot b}{a^2b^2 \cdot b} = \frac{ab^2 + b^3}{a^2b^3}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{a^3 - 3ab^2}{a^2b^3} + \frac{2ab^2}{a^2b^3} + \frac{ab^2 + b^3}{a^2b^3} = \frac{a^3 - 3ab^2 + 2ab^2 + ab^2 + b^3}{a^2b^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^3 + (-3ab^2 + 2ab^2 + ab^2) + b^3}{a^2b^3} = \frac{a^3 + 0 + b^3}{a^2b^3} = \frac{a^3 + b^3}{a^2b^3}$

Ответ: $\frac{a^3 + b^3}{a^2b^3}$

3) Упростим выражение $\frac{a^2 + 5a - 4}{16 - a^2} + \frac{2a}{8a + 2a^2}$. Сначала разложим знаменатели на множители.

Первый знаменатель: $16 - a^2 = (4 - a)(4 + a)$ (разность квадратов).

Второй знаменатель: $8a + 2a^2 = 2a(4 + a)$ (вынесение общего множителя).

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{a^2 + 5a - 4}{(4 - a)(4 + a)} + \frac{2a}{2a(4 + a)}$

Вторую дробь можно сократить на $2a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{a^2 + 5a - 4}{(4 - a)(4 + a)} + \frac{1}{4 + a}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(4 - a)(4 + a)$:

$\frac{a^2 + 5a - 4}{(4 - a)(4 + a)} + \frac{1 \cdot (4 - a)}{(4 + a)(4 - a)} = \frac{a^2 + 5a - 4 + 4 - a}{(4 - a)(4 + a)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2 + (5a - a) + (-4 + 4)}{(4 - a)(4 + a)} = \frac{a^2 + 4a}{(4 - a)(4 + a)}$

Вынесем в числителе общий множитель $a$ и сократим дробь:

$\frac{a(a + 4)}{(4 - a)(4 + a)} = \frac{a}{4 - a}$

Ответ: $\frac{a}{4 - a}$

4) Рассмотрим выражение $\frac{b}{9} - \frac{4b}{6b - 36} + \frac{2}{3} - \frac{4}{6 - b}$. Преобразуем знаменатели.

$6b - 36 = 6(b - 6)$

$6 - b = -(b - 6)$. Тогда $-\frac{4}{6 - b} = -\frac{4}{-(b - 6)} = \frac{4}{b - 6}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{b}{9} - \frac{4b}{6(b - 6)} + \frac{2}{3} + \frac{4}{b - 6}$

Сократим вторую дробь на 2: $\frac{4b}{6(b - 6)} = \frac{2b}{3(b - 6)}$.

Получаем: $\frac{b}{9} - \frac{2b}{3(b - 6)} + \frac{2}{3} + \frac{4}{b - 6}$.

Общий знаменатель для дробей со знаменателями $9$, $3(b-6)$, $3$, $b-6$ будет $9(b - 6)$.

Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{b \cdot (b - 6)}{9(b - 6)} - \frac{2b \cdot 3}{3(b - 6) \cdot 3} + \frac{2 \cdot 3(b - 6)}{3 \cdot 3(b - 6)} + \frac{4 \cdot 9}{(b - 6) \cdot 9}$

$\frac{b^2 - 6b}{9(b - 6)} - \frac{6b}{9(b - 6)} + \frac{6b - 36}{9(b - 6)} + \frac{36}{9(b - 6)}$

Сложим числители:

$\frac{b^2 - 6b - 6b + 6b - 36 + 36}{9(b - 6)} = \frac{b^2 - 6b}{9(b - 6)}$

Вынесем в числителе общий множитель $b$ и сократим дробь:

$\frac{b(b - 6)}{9(b - 6)} = \frac{b}{9}$

Ответ: $\frac{b}{9}$

650. 1) $\frac{a}{a^2 - 1} - \frac{1}{1 - a^2}$;

2) $\frac{3y}{4x^2 - 9y^2} + \frac{2x}{9y^2 - 4x^2}$;

3) $1 + 3a + \frac{9a^2}{1 + 3a} + \frac{1}{3a - 1} + \frac{6a}{1 - 9a^2}$;

4) $\frac{m^2}{m^3 - n^3} - \frac{mn}{n^3 - m^3} + \frac{n^2}{m^3 - n^3}$.

1) Исходное выражение: $\frac{a}{a^2 - 1} - \frac{1}{1 - a^2}$. Заметим, что знаменатель второй дроби является противоположным знаменателю первой дроби: $1 - a^2 = -(a^2 - 1)$. Используем это свойство, чтобы изменить знак перед второй дробью: $\frac{a}{a^2 - 1} - \frac{1}{-(a^2 - 1)} = \frac{a}{a^2 - 1} + \frac{1}{a^2 - 1}$. Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители: $\frac{a + 1}{a^2 - 1}$. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$\frac{a + 1}{(a - 1)(a + 1)}$. Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$:$\frac{1}{a - 1}$.
Ответ: $\frac{1}{a - 1}$

2) Исходное выражение: $\frac{3y}{4x^2 - 9y^2} + \frac{2x}{9y^2 - 4x^2}$.Знаменатель второй дроби, $9y^2 - 4x^2$, противоположен знаменателю первой, $4x^2 - 9y^2$. То есть, $9y^2 - 4x^2 = -(4x^2 - 9y^2)$.Преобразуем вторую дробь: $\frac{2x}{9y^2 - 4x^2} = \frac{2x}{-(4x^2 - 9y^2)} = -\frac{2x}{4x^2 - 9y^2}$.Теперь выражение выглядит так: $\frac{3y}{4x^2 - 9y^2} - \frac{2x}{4x^2 - 9y^2}$.Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:$\frac{3y - 2x}{4x^2 - 9y^2}$.Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$.Получим: $\frac{3y - 2x}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$.Заметим, что числитель $3y - 2x$ является противоположным выражению $2x - 3y$, то есть $3y - 2x = -(2x - 3y)$.Подставим это в дробь: $\frac{-(2x - 3y)}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$.Сократим на общий множитель $(2x-3y)$:$-\frac{1}{2x + 3y}$.
Ответ: $-\frac{1}{2x + 3y}$

3) Исходное выражение: $1 + 3a + \frac{9a^2}{1 + 3a} + \frac{1}{3a - 1} + \frac{6a}{1 - 9a^2}$.Сначала упростим сумму дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю. Заметим, что $1 - 9a^2 = (1 - 3a)(1 + 3a)$ и $3a - 1 = -(1 - 3a)$.Преобразуем дроби:$\frac{9a^2}{1 + 3a} + \frac{1}{3a - 1} + \frac{6a}{1 - 9a^2} = \frac{9a^2}{1 + 3a} + \frac{1}{-(1 - 3a)} + \frac{6a}{(1 - 3a)(1 + 3a)} = \frac{9a^2}{1 + 3a} - \frac{1}{1 - 3a} + \frac{6a}{(1 - 3a)(1 + 3a)}$.Общий знаменатель равен $(1 - 3a)(1 + 3a)$. Приведем дроби к нему:$\frac{9a^2(1 - 3a)}{(1 + 3a)(1 - 3a)} - \frac{1(1 + 3a)}{(1 - 3a)(1 + 3a)} + \frac{6a}{(1 - 3a)(1 + 3a)}$.Сложим числители:$\frac{9a^2(1 - 3a) - (1 + 3a) + 6a}{(1 - 3a)(1 + 3a)} = \frac{9a^2 - 27a^3 - 1 - 3a + 6a}{1 - 9a^2} = \frac{-27a^3 + 9a^2 + 3a - 1}{1 - 9a^2}$.Разложим числитель на множители, сгруппировав слагаемые: $-27a^3 + 9a^2 + 3a - 1 = 9a^2(1 - 3a) - (1 - 3a) = (9a^2 - 1)(1 - 3a)$.Подставим в дробь: $\frac{(9a^2 - 1)(1 - 3a)}{1 - 9a^2}$.Так как $9a^2 - 1 = -(1 - 9a^2)$, получаем: $\frac{-(1 - 9a^2)(1 - 3a)}{1 - 9a^2} = -(1 - 3a) = 3a - 1$.Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:$1 + 3a + (3a - 1) = 1 + 3a + 3a - 1 = 6a$.
Ответ: $6a$

4) Исходное выражение: $\frac{m^2}{m^3 - n^3} - \frac{mn}{n^3 - m^3} + \frac{n^2}{m^3 - n^3}$.Знаменатель второй дроби $n^3 - m^3$ является противоположным знаменателю $m^3 - n^3$. То есть, $n^3 - m^3 = -(m^3 - n^3)$.Преобразуем вторую дробь, изменив знак перед ней:$\frac{m^2}{m^3 - n^3} - \frac{mn}{-(m^3 - n^3)} + \frac{n^2}{m^3 - n^3} = \frac{m^2}{m^3 - n^3} + \frac{mn}{m^3 - n^3} + \frac{n^2}{m^3 - n^3}$.Теперь все дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому можем сложить их числители:$\frac{m^2 + mn + n^2}{m^3 - n^3}$.Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к знаменателю:$\frac{m^2 + mn + n^2}{(m - n)(m^2 + mn + n^2)}$.Сократим дробь на общий множитель $(m^2 + mn + n^2)$:$\frac{1}{m - n}$.
Ответ: $\frac{1}{m - n}$