Страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

676. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

1) $0.\overline{7}$;

2) $1.\overline{3}$;

3) $2.\overline{31}$;

4) $0.\overline{52}$;

5) $1.1\overline{3}$;

6) $2.3\overline{7}$.

1) 0,(7)

Чтобы представить чистую периодическую дробь в виде обыкновенной, нужно в числитель поставить период, а в знаменатель — число, состоящее из девяток, количество которых равно количеству цифр в периоде.
Для $0,(7)$ период равен 7 (одна цифра).
Следовательно, $0,(7) = \frac{7}{9}$.
Проверка алгебраическим методом:
Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$
Умножим на 10 (так как в периоде одна цифра):
$10x = 7,777...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$x = \frac{7}{9}$
Ответ: $ \frac{7}{9} $

2) 1,(3)

Представим число в виде суммы целой части и периодической дроби: $1,(3) = 1 + 0,(3)$.
Преобразуем $0,(3)$: период равен 3 (одна цифра).
$0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Теперь сложим целую и дробную части:
$1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Проверка алгебраическим методом:
Пусть $x = 1,(3) = 1,333...$
$10x = 13,333...$
$10x - x = 13,333... - 1,333...$
$9x = 12$
$x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$
Ответ: $ \frac{4}{3} $

3) 2,(31)

Представим число как $2,(31) = 2 + 0,(31)$.
Преобразуем $0,(31)$: период равен 31 (две цифры).
$0,(31) = \frac{31}{99}$.
Сложим целую и дробную части:
$2 + \frac{31}{99} = \frac{2 \cdot 99}{99} + \frac{31}{99} = \frac{198 + 31}{99} = \frac{229}{99}$.
Ответ: $ \frac{229}{99} $

4) 0,(52)

Это чистая периодическая дробь. Период равен 52 (две цифры).
В числитель ставим период (52), в знаменатель — две девятки (99).
$0,(52) = \frac{52}{99}$.
Ответ: $ \frac{52}{99} $

5) 1,1(3)

Это смешанная периодическая дробь. Для преобразования такой дроби нужно из числа, стоящего до конца первого периода (113), вычесть число, стоящее до периода (11), и записать результат в числитель. В знаменатель нужно записать столько девяток, сколько цифр в периоде (одна), и столько нулей, сколько цифр после запятой до периода (одна).
$1,1(3) = \frac{113 - 11}{90} = \frac{102}{90}$.
Сократим дробь:
$\frac{102}{90} = \frac{51}{45} = \frac{17}{15}$.
Проверка алгебраическим методом:
Пусть $x = 1,1(3) = 1,1333...$
Умножим на 10, чтобы сместить запятую к началу периода:
$10x = 11,333...$
Умножим на 100, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$100x = 113,333...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$100x - 10x = 113,333... - 11,333...$
$90x = 102$
$x = \frac{102}{90} = \frac{17}{15}$
Ответ: $ \frac{17}{15} $

6) 2,3(7)

Это смешанная периодическая дробь. Применим правило.
Число до конца первого периода: 237.
Число до периода: 23.
Цифр в периоде: 1 (значит, одна 9 в знаменателе).
Цифр после запятой до периода: 1 (значит, один 0 в знаменателе).
$2,3(7) = \frac{237 - 23}{90} = \frac{214}{90}$.
Сократим дробь:
$\frac{214}{90} = \frac{107}{45}$.
Проверка алгебраическим методом:
Пусть $x = 2,3(7) = 2,3777...$
$10x = 23,777...$
$100x = 237,777...$
$100x - 10x = 237,777... - 23,777...$
$90x = 214$
$x = \frac{214}{90} = \frac{107}{45}$
Ответ: $ \frac{107}{45} $

677. Сравнить числа:

1) $\sqrt{23}$ и 5;

2) 3,1 и $\sqrt{10}$;

3) $\sqrt{0,0361}$ и 0,19;

4) $\sqrt{7,3}$ и 2,7.

1)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{23}$ и $5$, возведем оба числа в квадрат. Это корректно, так как оба числа неотрицательные, а для неотрицательных чисел большему квадрату соответствует большее число.

Возводим в квадрат первое число: $(\sqrt{23})^2 = 23$.

Возводим в квадрат второе число: $5^2 = 25$.

Теперь сравним полученные результаты: $23$ и $25$.

Так как $23 < 25$, то и $\sqrt{23} < \sqrt{25}$, а значит $\sqrt{23} < 5$.

Ответ: $\sqrt{23} < 5$.

2)

Сравним числа $3,1$ и $\sqrt{10}$. Для этого возведем оба неотрицательных числа в квадрат.

Возводим в квадрат первое число: $(3,1)^2 = 3,1 \times 3,1 = 9,61$.

Возводим в квадрат второе число: $(\sqrt{10})^2 = 10$.

Сравниваем квадраты чисел: $9,61$ и $10$.

Поскольку $9,61 < 10$, то и $\sqrt{9,61} < \sqrt{10}$, следовательно $3,1 < \sqrt{10}$.

Ответ: $3,1 < \sqrt{10}$.

3)

Сравним числа $\sqrt{0,0361}$ и $0,19$. Возведем оба неотрицательных числа в квадрат.

Возводим в квадрат первое число: $(\sqrt{0,0361})^2 = 0,0361$.

Возводим в квадрат второе число: $(0,19)^2 = 0,19 \times 0,19 = 0,0361$.

Сравниваем результаты: $0,0361 = 0,0361$.

Так как квадраты чисел равны, то и сами неотрицательные числа равны.

Ответ: $\sqrt{0,0361} = 0,19$.

4)

Сравним числа $\sqrt{7,3}$ и $2,7$. Возведем в квадрат оба неотрицательных числа.

Возводим в квадрат первое число: $(\sqrt{7,3})^2 = 7,3$.

Возводим в квадрат второе число: $(2,7)^2 = 2,7 \times 2,7 = 7,29$.

Сравниваем полученные квадраты: $7,3$ и $7,29$.

Так как $7,3 > 7,29$, то и $\sqrt{7,3} > \sqrt{7,29}$, а значит $\sqrt{7,3} > 2,7$.

Ответ: $\sqrt{7,3} > 2,7$.

678. При каких значениях a верно равенство:

1) $\sqrt{a+1}=2;$

2) $\sqrt{3-2a}=5;$

3) $2\sqrt{\frac{1}{6}a-2}=1;$

4) $\frac{1}{3}\sqrt{7a-4}=0?$

1) Дано равенство $\sqrt{a}+1=2$.
Для решения этого уравнения сначала необходимо изолировать радикал (корень). Для этого перенесем 1 в правую часть уравнения:
$\sqrt{a} = 2 - 1$
$\sqrt{a} = 1$
Теперь, чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{a})^2 = 1^2$
$a = 1$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение области допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение $a$ должно быть неотрицательным: $a \ge 0$. Значение $a=1$ удовлетворяет этому условию.
Подставим $a=1$ в исходное уравнение для проверки: $\sqrt{1}+1=1+1=2$. Равенство верно.
Ответ: $a=1$.

2) Дано равенство $\sqrt{3-2a}=5$.
Чтобы найти $a$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3-2a})^2 = 5^2$
$3 - 2a = 25$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$:
$-2a = 25 - 3$
$-2a = 22$
$a = \frac{22}{-2}$
$a = -11$
Проверим ОДЗ: подкоренное выражение $3-2a$ должно быть неотрицательным. Подставим найденное значение $a=-11$: $3 - 2(-11) = 3 + 22 = 25$. Так как $25 \ge 0$, условие выполняется.
Проверим решение подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{3-2(-11)} = \sqrt{3+22} = \sqrt{25} = 5$. Равенство верно.
Ответ: $a=-11$.

3) Дано равенство $2\sqrt{\frac{1}{6}a-2}=1$.
Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы изолировать радикал:
$\sqrt{\frac{1}{6}a-2} = \frac{1}{2}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{\frac{a}{6}-2})^2 = (\frac{1}{2})^2$
$\frac{a}{6}-2 = \frac{1}{4}$
Перенесем -2 в правую часть уравнения:
$\frac{a}{6} = \frac{1}{4} + 2$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{a}{6} = \frac{1}{4} + \frac{8}{4}$
$\frac{a}{6} = \frac{9}{4}$
Теперь найдем $a$, умножив обе части уравнения на 6:
$a = \frac{9}{4} \cdot 6$
$a = \frac{54}{4} = \frac{27}{2}$
Проверим ОДЗ: $\frac{1}{6}a-2 \ge 0$. Подставим $a=\frac{27}{2}$: $\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{2}-2 = \frac{27}{12}-2 = \frac{9}{4}-2 = \frac{9-8}{4}=\frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} \ge 0$, условие выполняется.
Проверка подстановкой в исходное уравнение: $2\sqrt{\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{2}-2} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$. Равенство верно.
Ответ: $a=\frac{27}{2}$.

4) Дано равенство $\frac{1}{3}\sqrt{7a-4}=0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $\frac{1}{3} \neq 0$, то нулю должен быть равен второй множитель (корень):
$\sqrt{7a-4} = 0$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{7a-4})^2 = 0^2$
$7a - 4 = 0$
Решим полученное линейное уравнение:
$7a = 4$
$a = \frac{4}{7}$
Проверим ОДЗ: $7a-4 \ge 0$. Подставим $a=\frac{4}{7}$: $7\cdot\frac{4}{7}-4=4-4=0$. Так как $0 \ge 0$, условие выполняется.
Проверка подстановкой в исходное уравнение: $\frac{1}{3}\sqrt{7\cdot\frac{4}{7}-4} = \frac{1}{3}\sqrt{0} = 0$. Равенство верно.
Ответ: $a=\frac{4}{7}$.

679. Вычислить:

1) $ (\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2) $;

2) $ (3\sqrt{5}+1)(1-3\sqrt{5}) $.

1) Для вычисления произведения $(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае, $a = \sqrt{2}$ и $b = 2$.

Применим формулу:

$(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2) = (\sqrt{2})^2 - 2^2$

Теперь вычислим значения квадратов:

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$2^2 = 4$

Подставим полученные значения обратно в выражение и найдем разность:

$2 - 4 = -2$

Ответ: $-2$.

2) Для вычисления произведения $(3\sqrt{5}+1)(1-3\sqrt{5})$ также можно использовать формулу разности квадратов. Для этого преобразуем выражение, поменяв местами слагаемые в первой скобке:

$(3\sqrt{5}+1) = (1+3\sqrt{5})$

Теперь выражение имеет вид: $(1+3\sqrt{5})(1-3\sqrt{5})$.

Это соответствует формуле $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 1$ и $b = 3\sqrt{5}$.

Применим формулу:

$(1+3\sqrt{5})(1-3\sqrt{5}) = 1^2 - (3\sqrt{5})^2$

Теперь вычислим значения квадратов:

$1^2 = 1$

$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$

Подставим полученные значения и найдем разность:

$1 - 45 = -44$

Ответ: $-44$.

680. Разложить на множители по образцу $a^2 - 7 = (a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7}):$

1) $a^2 - 13$;

2) $15 - b^2$;

3) $x^2 - 80$;

4) $\frac{18}{41} - x^2$.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Основная идея заключается в том, чтобы представить вычитаемое число или дробь как квадрат некоторого выражения (часто с использованием квадратного корня), как показано в образце $a^2 - 7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a-\sqrt{7})(a+\sqrt{7})$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $a^2 - 13$, применим формулу разности квадратов. Для этого представим число 13 как квадрат выражения $\sqrt{13}$, то есть $13 = (\sqrt{13})^2$. Тогда исходное выражение можно записать в виде $a^2 - (\sqrt{13})^2$. Применив формулу, получаем: $a^2 - 13 = (a - \sqrt{13})(a + \sqrt{13})$.

Ответ: $(a - \sqrt{13})(a + \sqrt{13})$

2) Аналогично предыдущему пункту, для разложения выражения $15 - b^2$ на множители используем формулу разности квадратов. Представим число 15 как $(\sqrt{15})^2$. Выражение принимает вид $(\sqrt{15})^2 - b^2$. По формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = \sqrt{15}$ и $y = b$, получаем: $15 - b^2 = (\sqrt{15} - b)(\sqrt{15} + b)$.

Ответ: $(\sqrt{15} - b)(\sqrt{15} + b)$

3) Для разложения на множители выражения $x^2 - 80$ снова воспользуемся формулой разности квадратов. Представим 80 как квадрат некоторого числа: $80 = (\sqrt{80})^2$. В данном случае корень из 80 можно упростить. Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$. Таким образом, $x^2 - 80 = x^2 - (4\sqrt{5})^2$. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $x^2 - 80 = (x - 4\sqrt{5})(x + 4\sqrt{5})$.

Ответ: $(x - 4\sqrt{5})(x + 4\sqrt{5})$

4) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{18}{41} - x^2$, применим тот же подход. Представим дробь $\frac{18}{41}$ в виде квадрата: $\frac{18}{41} = (\sqrt{\frac{18}{41}})^2$. Упростим корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$: $\sqrt{\frac{18}{41}} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{41}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{\sqrt{41}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}}$. Теперь исходное выражение можно записать как $(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}})^2 - x^2$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $\frac{18}{41} - x^2 = (\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}} - x)(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}} + x)$.

Ответ: $(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}} - x)(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}} + x)$

681. Вычислить:

1) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{160};$

2) $\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}};$

3) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{33};$

4) $\sqrt{7} \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{3};$

5) $(3\sqrt{12} + 2\sqrt{3})^2;$

6) $(2\sqrt{2} - 3\sqrt{32})^2.$

1) Вычислить $\sqrt{10} \cdot \sqrt{160}$

Используем свойство умножения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{10} \cdot \sqrt{160} = \sqrt{10 \cdot 160} = \sqrt{1600}$

Число 1600 можно представить как $40^2$, так как $1600 = 16 \cdot 100 = 4^2 \cdot 10^2 = (4 \cdot 10)^2 = 40^2$.

$\sqrt{1600} = 40$

Ответ: 40

2) Вычислить $\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}}$

Произведение двух одинаковых квадратных корней равно подкоренному выражению, так как $(\sqrt{a})^2 = a$.

$\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} = \left(\sqrt{\frac{1}{5}}\right)^2 = \frac{1}{5}$

Также можно воспользоваться свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

3) Вычислить $\sqrt{3} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{33}$

Объединим все множители под одним знаком корня, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{33} = \sqrt{3 \cdot 11 \cdot 33}$

Заметим, что $33 = 3 \cdot 11$. Подставим это в выражение.

$\sqrt{3 \cdot 11 \cdot (3 \cdot 11)} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(3 \cdot 11)^2} = \sqrt{33^2} = 33$

Ответ: 33

4) Вычислить $\sqrt{7} \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{3}$

Снова объединим множители под одним корнем.

$\sqrt{7} \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{7 \cdot 21 \cdot 3}$

Разложим число 21 на множители: $21 = 7 \cdot 3$.

$\sqrt{7 \cdot (7 \cdot 3) \cdot 3} = \sqrt{7^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(7 \cdot 3)^2} = \sqrt{21^2} = 21$

Ответ: 21

5) Вычислить $(3\sqrt{12} + 2\sqrt{3})^2$

Сначала упростим выражение в скобках. Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{12}$.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Теперь подставим упрощенное значение обратно в исходное выражение.

$(3 \cdot (2\sqrt{3}) + 2\sqrt{3})^2 = (6\sqrt{3} + 2\sqrt{3})^2$

Сложим подобные слагаемые в скобках.

$(6\sqrt{3} + 2\sqrt{3})^2 = (8\sqrt{3})^2$

Возведем в квадрат, используя свойство $(ab)^2 = a^2b^2$.

$(8\sqrt{3})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$

Ответ: 192

6) Вычислить $(2\sqrt{2} - 3\sqrt{32})^2$

Упростим выражение в скобках, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{32}$.

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Подставим это значение в исходное выражение.

$(2\sqrt{2} - 3 \cdot (4\sqrt{2}))^2 = (2\sqrt{2} - 12\sqrt{2})^2$

Вычтем подобные слагаемые в скобках.

$(2\sqrt{2} - 12\sqrt{2})^2 = (-10\sqrt{2})^2$

Возведем в квадрат.

$(-10\sqrt{2})^2 = (-10)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200$

Ответ: 200

682. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если высота его $\sqrt{12,5}$ см, ширина $\sqrt{5}$ см, длина $\sqrt{10}$ см.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$).

Формула для вычисления объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.

Согласно условию задачи, нам даны следующие размеры:
Высота $c = \sqrt{12,5}$ см;
Ширина $b = \sqrt{5}$ см;
Длина $a = \sqrt{10}$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$V = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{12,5}$

Используя свойство произведения квадратных корней, согласно которому $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$, объединим все множители под одним знаком корня:

$V = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 12,5}$

Теперь выполним умножение чисел под знаком корня:

$V = \sqrt{50 \cdot 12,5} = \sqrt{625}$

Извлекая квадратный корень из 625, находим объём:

$V = 25$

Так как все линейные размеры были даны в сантиметрах (см), то объём будет измеряться в кубических сантиметрах (см³).

Ответ: $25 \text{ см}^3$.

683. Площадь одного квадрата равна $7,68 \text{ м}^2$, площадь другого $300 \text{ дм}^2$. Во сколько раз сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата?

Для решения задачи сначала необходимо привести площади обоих квадратов к единой единице измерения. Переведем площадь первого квадрата из квадратных метров (м²) в квадратные дециметры (дм²).

Известно, что в одном метре 10 дециметров:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Следовательно, в одном квадратном метре 100 квадратных дециметров:

$1 \text{ м}^2 = (10 \text{ дм})^2 = 100 \text{ дм}^2$

Теперь вычислим площадь первого квадрата ($S_1$) в дм²:

$S_1 = 7,68 \text{ м}^2 = 7,68 \times 100 \text{ дм}^2 = 768 \text{ дм}^2$

Площадь второго квадрата ($S_2$) дана в условии:

$S_2 = 300 \text{ дм}^2$

Площадь квадрата ($S$) связана с длиной его стороны ($a$) формулой $S = a^2$. Отсюда, длина стороны равна квадратному корню из площади: $a = \sqrt{S}$.

Чтобы найти, во сколько раз сторона первого квадрата ($a_1$) больше стороны второго ($a_2$), нужно найти их отношение $\frac{a_1}{a_2}$. Отношение сторон равно квадратному корню из отношения площадей:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$

Подставим значения площадей в эту формулу:

$\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{768}{300}}$

Сократим дробь под корнем. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{768}{300} = \frac{768 : 3}{300 : 3} = \frac{256}{100}$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{256}{100}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{100}} = \frac{16}{10} = 1,6$

Таким образом, сторона первого квадрата в 1,6 раза больше стороны второго квадрата.

Ответ: в 1,6 раза.

684. Вынести множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{16xy^2}$, где $x \geq 0$, $y < 0$;

2) $\sqrt{45x^3y^5}$, где $x < 0$, $y < 0$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{16xy^2}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители, из которых легко извлекается квадратный корень.
Сначала убедимся, что выражение под корнем неотрицательно. По условию $x \ge 0$, а $y^2$ всегда неотрицательно (так как это квадрат числа). Следовательно, произведение $16xy^2 \ge 0$, и корень определен.
Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{16xy^2} = \sqrt{16 \cdot x \cdot y^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{x}$
Теперь вычислим значения корней:
$\sqrt{16} = 4$
$\sqrt{y^2} = |y|$ (арифметический квадратный корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения).
$\sqrt{x}$ оставляем без изменений.
Собираем все вместе и получаем: $4 \cdot |y| \cdot \sqrt{x}$.
По условию задачи дано, что $y < 0$. Для отрицательных чисел модуль раскрывается со знаком минус: $|y| = -y$.
Подставим это в наше выражение:
$4 \cdot (-y) \cdot \sqrt{x} = -4y\sqrt{x}$.
Ответ: $-4y\sqrt{x}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{45x^3y^5}$ при условиях $x < 0$ и $y < 0$.
Проверим знак подкоренного выражения. Поскольку $x < 0$, то $x^3$ (нечетная степень) также будет отрицательным. Аналогично, поскольку $y < 0$, то $y^5$ также будет отрицательным. Произведение двух отрицательных чисел ($x^3 \cdot y^5$) является положительным числом, поэтому выражение $45x^3y^5$ положительно и корень из него определен.
Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты:
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$x^3 = x^2 \cdot x$
$y^5 = y^4 \cdot y = (y^2)^2 \cdot y$
Подставим разложенные множители под корень:
$\sqrt{45x^3y^5} = \sqrt{(3^2 \cdot x^2 \cdot y^4) \cdot (5xy)}$
Теперь вынесем множители с четными степенями из-под знака корня:
$\sqrt{3^2 \cdot x^2 \cdot y^4} \cdot \sqrt{5xy} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y^4} \cdot \sqrt{5xy}$
Упростим каждый множитель:
$\sqrt{3^2} = 3$
$\sqrt{x^2} = |x|$
$\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = y^2$ (поскольку $y^2$ всегда неотрицательно, его модуль равен самому себе).
Получаем выражение: $3 \cdot |x| \cdot y^2 \cdot \sqrt{5xy}$.
По условию $x < 0$, значит, $|x| = -x$.
Подставляем $-x$ вместо $|x|$:
$3 \cdot (-x) \cdot y^2 \cdot \sqrt{5xy} = -3xy^2\sqrt{5xy}$.
Ответ: $-3xy^2\sqrt{5xy}$

685. Упростить:

1) $\sqrt{3} - 5\sqrt{108} + \frac{1}{2}\sqrt{12};$

2) $-\frac{1}{2}\sqrt{72} + 4\sqrt{0,08} - 2\sqrt{2}.$

1) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{3}-5\sqrt{108}+\frac{1}{2}\sqrt{12} $, необходимо привести все слагаемые к общему виду $ k\sqrt{a} $. В данном случае это $ k\sqrt{3} $. Для этого вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом.

Упростим $ \sqrt{108} $. Разложим число 108 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом:

$ 108 = 36 \cdot 3 $

Тогда $ \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} $.

Упростим $ \sqrt{12} $. Разложим число 12 на множители:

$ 12 = 4 \cdot 3 $

Тогда $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $.

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$ \sqrt{3} - 5 \cdot (6\sqrt{3}) + \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{3}) $

Выполним умножение:

$ \sqrt{3} - 30\sqrt{3} + 1\sqrt{3} $

Теперь, когда все слагаемые содержат $ \sqrt{3} $, мы можем сложить и вычесть их коэффициенты (привести подобные члены):

$ (1 - 30 + 1)\sqrt{3} = (2 - 30)\sqrt{3} = -28\sqrt{3} $

Ответ: $ -28\sqrt{3} $.

2) Чтобы упростить выражение $ -\frac{1}{2}\sqrt{72}+4\sqrt{0,08}-2\sqrt{2} $, приведем все слагаемые к общему виду $ k\sqrt{2} $.

Упростим $ \sqrt{72} $. Разложим 72 на множители:

$ 72 = 36 \cdot 2 $

Тогда $ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} $.

Упростим $ \sqrt{0,08} $. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной или выделим множитель, являющийся полным квадратом:

$ 0,08 = 0,04 \cdot 2 $

Тогда $ \sqrt{0,08} = \sqrt{0,04 \cdot 2} = \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{2} = 0,2\sqrt{2} $.

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$ -\frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{2}) + 4 \cdot (0,2\sqrt{2}) - 2\sqrt{2} $

Выполним умножение:

$ -3\sqrt{2} + 0,8\sqrt{2} - 2\sqrt{2} $

Приведем подобные члены, сложив и вычтя коэффициенты при $ \sqrt{2} $:

$ (-3 + 0,8 - 2)\sqrt{2} = (-5 + 0,8)\sqrt{2} = -4,2\sqrt{2} $

Ответ: $ -4,2\sqrt{2} $.

686. Вычислить:

1) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{153}}{\sqrt{17}} + (\sqrt{20} - \sqrt{45} + 3\sqrt{125}):2\sqrt{5}$;

2) $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{304}}{\sqrt{19}} + \frac{\sqrt{1331}}{\sqrt{11}}$.

1)

Для решения данного примера выполним вычисления по действиям.

1. Упростим частные корней, используя свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$
$\frac{\sqrt{153}}{\sqrt{17}} = \sqrt{\frac{153}{17}} = \sqrt{9} = 3$

2. Упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в каждом слагаемом:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
$3\sqrt{125} = 3\sqrt{25 \cdot 5} = 3 \cdot 5\sqrt{5} = 15\sqrt{5}$
Теперь выполним действия с полученными выражениями:
$2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 15\sqrt{5} = (2 - 3 + 15)\sqrt{5} = 14\sqrt{5}$

3. Выполним деление:
$(14\sqrt{5}) : (2\sqrt{5}) = \frac{14\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = 7$

4. Сложим результаты всех действий:
$2 + 3 + 7 = 12$

Ответ: 12

2)

Для решения второго примера также выполним вычисления по частям.

1. Упростим произведение корней, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})} = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{25 - (4 \cdot 6)} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1$

2. Упростим дроби, содержащие корни, по свойству $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{304}}{\sqrt{19}} = \sqrt{\frac{304}{19}} = \sqrt{16} = 4$
$\frac{\sqrt{1331}}{\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{1331}{11}} = \sqrt{121} = 11$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним арифметические действия:
$1 - 4 + 11 = 8$

Ответ: 8