Номер 678, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 678, страница 260.

Условие.

678. При каких значениях a верно равенство:

1) $\sqrt{a+1}=2;$

2) $\sqrt{3-2a}=5;$

3) $2\sqrt{\frac{1}{6}a-2}=1;$

4) $\frac{1}{3}\sqrt{7a-4}=0?$

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано равенство $\sqrt{a}+1=2$.
Для решения этого уравнения сначала необходимо изолировать радикал (корень). Для этого перенесем 1 в правую часть уравнения:
$\sqrt{a} = 2 - 1$
$\sqrt{a} = 1$
Теперь, чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{a})^2 = 1^2$
$a = 1$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение области допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение $a$ должно быть неотрицательным: $a \ge 0$. Значение $a=1$ удовлетворяет этому условию.
Подставим $a=1$ в исходное уравнение для проверки: $\sqrt{1}+1=1+1=2$. Равенство верно.
Ответ: $a=1$.

2) Дано равенство $\sqrt{3-2a}=5$.
Чтобы найти $a$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3-2a})^2 = 5^2$
$3 - 2a = 25$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$:
$-2a = 25 - 3$
$-2a = 22$
$a = \frac{22}{-2}$
$a = -11$
Проверим ОДЗ: подкоренное выражение $3-2a$ должно быть неотрицательным. Подставим найденное значение $a=-11$: $3 - 2(-11) = 3 + 22 = 25$. Так как $25 \ge 0$, условие выполняется.
Проверим решение подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{3-2(-11)} = \sqrt{3+22} = \sqrt{25} = 5$. Равенство верно.
Ответ: $a=-11$.

3) Дано равенство $2\sqrt{\frac{1}{6}a-2}=1$.
Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы изолировать радикал:
$\sqrt{\frac{1}{6}a-2} = \frac{1}{2}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{\frac{a}{6}-2})^2 = (\frac{1}{2})^2$
$\frac{a}{6}-2 = \frac{1}{4}$
Перенесем -2 в правую часть уравнения:
$\frac{a}{6} = \frac{1}{4} + 2$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{a}{6} = \frac{1}{4} + \frac{8}{4}$
$\frac{a}{6} = \frac{9}{4}$
Теперь найдем $a$, умножив обе части уравнения на 6:
$a = \frac{9}{4} \cdot 6$
$a = \frac{54}{4} = \frac{27}{2}$
Проверим ОДЗ: $\frac{1}{6}a-2 \ge 0$. Подставим $a=\frac{27}{2}$: $\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{2}-2 = \frac{27}{12}-2 = \frac{9}{4}-2 = \frac{9-8}{4}=\frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} \ge 0$, условие выполняется.
Проверка подстановкой в исходное уравнение: $2\sqrt{\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{2}-2} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$. Равенство верно.
Ответ: $a=\frac{27}{2}$.

4) Дано равенство $\frac{1}{3}\sqrt{7a-4}=0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $\frac{1}{3} \neq 0$, то нулю должен быть равен второй множитель (корень):
$\sqrt{7a-4} = 0$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{7a-4})^2 = 0^2$
$7a - 4 = 0$
Решим полученное линейное уравнение:
$7a = 4$
$a = \frac{4}{7}$
Проверим ОДЗ: $7a-4 \ge 0$. Подставим $a=\frac{4}{7}$: $7\cdot\frac{4}{7}-4=4-4=0$. Так как $0 \ge 0$, условие выполняется.
Проверка подстановкой в исходное уравнение: $\frac{1}{3}\sqrt{7\cdot\frac{4}{7}-4} = \frac{1}{3}\sqrt{0} = 0$. Равенство верно.
Ответ: $a=\frac{4}{7}$.