Номер 684, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 684, страница 260.

Условие.

684. Вынести множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{16xy^2}$, где $x \geq 0$, $y < 0$;

2) $\sqrt{45x^3y^5}$, где $x < 0$, $y < 0$.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{16xy^2}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители, из которых легко извлекается квадратный корень.
Сначала убедимся, что выражение под корнем неотрицательно. По условию $x \ge 0$, а $y^2$ всегда неотрицательно (так как это квадрат числа). Следовательно, произведение $16xy^2 \ge 0$, и корень определен.
Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{16xy^2} = \sqrt{16 \cdot x \cdot y^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{x}$
Теперь вычислим значения корней:
$\sqrt{16} = 4$
$\sqrt{y^2} = |y|$ (арифметический квадратный корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения).
$\sqrt{x}$ оставляем без изменений.
Собираем все вместе и получаем: $4 \cdot |y| \cdot \sqrt{x}$.
По условию задачи дано, что $y < 0$. Для отрицательных чисел модуль раскрывается со знаком минус: $|y| = -y$.
Подставим это в наше выражение:
$4 \cdot (-y) \cdot \sqrt{x} = -4y\sqrt{x}$.
Ответ: $-4y\sqrt{x}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{45x^3y^5}$ при условиях $x < 0$ и $y < 0$.
Проверим знак подкоренного выражения. Поскольку $x < 0$, то $x^3$ (нечетная степень) также будет отрицательным. Аналогично, поскольку $y < 0$, то $y^5$ также будет отрицательным. Произведение двух отрицательных чисел ($x^3 \cdot y^5$) является положительным числом, поэтому выражение $45x^3y^5$ положительно и корень из него определен.
Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты:
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$x^3 = x^2 \cdot x$
$y^5 = y^4 \cdot y = (y^2)^2 \cdot y$
Подставим разложенные множители под корень:
$\sqrt{45x^3y^5} = \sqrt{(3^2 \cdot x^2 \cdot y^4) \cdot (5xy)}$
Теперь вынесем множители с четными степенями из-под знака корня:
$\sqrt{3^2 \cdot x^2 \cdot y^4} \cdot \sqrt{5xy} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y^4} \cdot \sqrt{5xy}$
Упростим каждый множитель:
$\sqrt{3^2} = 3$
$\sqrt{x^2} = |x|$
$\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = y^2$ (поскольку $y^2$ всегда неотрицательно, его модуль равен самому себе).
Получаем выражение: $3 \cdot |x| \cdot y^2 \cdot \sqrt{5xy}$.
По условию $x < 0$, значит, $|x| = -x$.
Подставляем $-x$ вместо $|x|$:
$3 \cdot (-x) \cdot y^2 \cdot \sqrt{5xy} = -3xy^2\sqrt{5xy}$.
Ответ: $-3xy^2\sqrt{5xy}$