Номер 690, страница 261 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 690, страница 261.

Условие.

690. 1) $1.5x - 4x^2 = 6.3x - x^2$;

2) $11y - 15 = (y + 5)(y - 3)$;

3) $3x(x + 2) = 2x(x - 2)$;

4) $\frac{1}{4}(3x^2 + 1) - \frac{40x + 3}{6} = \frac{x - 3}{12}$;

5) $\frac{y^2 - 5}{4} - \frac{15 - y^2}{5} = \frac{y^2 - 4}{3}$;

6) $\frac{2x^2 - 1}{4} = \frac{1 + 1.5x^2}{5}$.

Решение 3.

Решение 4.

1) $1,5x - 4x^2 = 6,3x - x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$1,5x - 4x^2 - 6,3x + x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(1,5 - 6,3)x + (-4 + 1)x^2 = 0$

$-4,8x - 3x^2 = 0$

Умножим обе части на $-1$, чтобы сменить знаки:

$3x^2 + 4,8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 4,8) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x_1 = 0$

или

$3x + 4,8 = 0$

$3x = -4,8$

$x_2 = -4,8 / 3 = -1,6$

Ответ: $0; -1,6$.

2) $11y - 15 = (y + 5)(y - 3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$(y + 5)(y - 3) = y^2 - 3y + 5y - 15 = y^2 + 2y - 15$

Уравнение принимает вид:

$11y - 15 = y^2 + 2y - 15$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = y^2 + 2y - 15 - 11y + 15$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (2 - 11)y + (-15 + 15) = 0$

$y^2 - 9y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y - 9) = 0$

Отсюда находим корни:

$y_1 = 0$

или

$y - 9 = 0 \implies y_2 = 9$

Ответ: $0; 9$.

3) $3x(x + 2) = 2x(x - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 + 6x = 2x^2 - 4x$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 + 6x - 2x^2 + 4x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3 - 2)x^2 + (6 + 4)x = 0$

$x^2 + 10x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 10) = 0$

Находим корни:

$x_1 = 0$

или

$x + 10 = 0 \implies x_2 = -10$

Ответ: $0; -10$.

4) $\frac{1}{4}(3x^2 + 1) - \frac{40x + 3}{6} = \frac{x - 3}{12}$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей: НОК(4, 6, 12) = 12. Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$12 \cdot \frac{1}{4}(3x^2 + 1) - 12 \cdot \frac{40x + 3}{6} = 12 \cdot \frac{x - 3}{12}$

$3(3x^2 + 1) - 2(40x + 3) = x - 3$

Раскроем скобки:

$9x^2 + 3 - 80x - 6 = x - 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x^2 - 80x - 3 = x - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$9x^2 - 80x - 3 - x + 3 = 0$

$9x^2 - 81x = 0$

Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:

$9x(x - 9) = 0$

Находим корни:

$9x = 0 \implies x_1 = 0$

или

$x - 9 = 0 \implies x_2 = 9$

Ответ: $0; 9$.

5) $\frac{y^2 - 5}{4} - \frac{15 - y^2}{5} = \frac{y^2 - 4}{3}$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей: НОК(4, 5, 3) = 60. Умножим обе части уравнения на 60:

$60 \cdot \frac{y^2 - 5}{4} - 60 \cdot \frac{15 - y^2}{5} = 60 \cdot \frac{y^2 - 4}{3}$

$15(y^2 - 5) - 12(15 - y^2) = 20(y^2 - 4)$

Раскроем скобки:

$15y^2 - 75 - (180 - 12y^2) = 20y^2 - 80$

$15y^2 - 75 - 180 + 12y^2 = 20y^2 - 80$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$27y^2 - 255 = 20y^2 - 80$

Перенесем члены с $y^2$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$27y^2 - 20y^2 = 255 - 80$

$7y^2 = 175$

Разделим обе части на 7:

$y^2 = \frac{175}{7}$

$y^2 = 25$

Извлечем квадратный корень:

$y = \pm\sqrt{25}$

$y_1 = 5, y_2 = -5$

Ответ: $5; -5$.

6) $\frac{2x^2 - 1}{4} = \frac{1 + 1,5x^2}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$5(2x^2 - 1) = 4(1 + 1,5x^2)$

Раскроем скобки:

$10x^2 - 5 = 4 + 6x^2$

Перенесем члены с $x^2$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$10x^2 - 6x^2 = 4 + 5$

$4x^2 = 9$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = \frac{9}{4}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$x = \pm\frac{3}{2}$

$x_1 = 1,5, x_2 = -1,5$

Ответ: $1,5; -1,5$.