Номер 696, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 696, страница 262.

Условие.

696. 1) $x^2 + 3x + 70 = 0;$

2) $x^2 - 12x + 11 = 0;$

3) $x^2 + 20x + 100 = 0;$

4) $x^2 + 18x - 208 = 0;$

5) $x(x - 15) = 3(108 - 5x);$

6) $(x - 3)^2 + (x + 4)^2 - (x - 5)^2 = 17x + 24;$

7) $\frac{5x^2 + 9}{6} - \frac{4x^2 - 9}{5} = 3;$

8) $\frac{x(x - 3)}{7} - 11 = -x.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $x^2 + 3x + 70 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=3$, $c=70$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 70 = 9 - 280 = -271$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

2) $x^2 - 12x + 11 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-12$, $c=11$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-12) + 10}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 10}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$x_2 = \frac{-(-12) - 10}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: $1; 11$.

3) $x^2 + 20x + 100 = 0$
Это квадратное уравнение является полным квадратом, так как его можно представить в виде $(x+10)^2 = 0$.
$(x+10)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100$.
Из уравнения $(x+10)^2=0$ следует, что $x+10=0$.
$x = -10$.
Альтернативное решение через дискриминант:
$a=1$, $b=20$, $c=100$.
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 400 - 400 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один действительный корень: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2 \cdot 1} = -10$.
Ответ: $-10$.

4) $x^2 + 18x - 208 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=18$, $c=-208$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-208) = 324 + 832 = 1156$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-18 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-18 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-52}{2} = -26$
Ответ: $-26; 8$.

5) $x(x - 15) = 3(108 - 5x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 15x = 324 - 15x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 15x - 324 + 15x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 324 = 0$
$x^2 = 324$
$x = \pm\sqrt{324}$
$x_1 = 18$, $x_2 = -18$.
Ответ: $-18; 18$.

6) $(x - 3)^2 + (x + 4)^2 - (x - 5)^2 = 17x + 24$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 10x + 25) = 17x + 24$
$x^2 - 6x + 9 + x^2 + 8x + 16 - x^2 + 10x - 25 = 17x + 24$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(x^2 + x^2 - x^2) + (-6x + 8x + 10x) + (9 + 16 - 25) = 17x + 24$
$x^2 + 12x = 17x + 24$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 12x - 17x - 24 = 0$
$x^2 - 5x - 24 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: $-3; 8$.

7) $\frac{5x^2 + 9}{6} - \frac{4x^2 - 9}{5} = 3$
Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 5, то есть на 30, чтобы избавиться от дробей:
$30 \cdot \frac{5x^2 + 9}{6} - 30 \cdot \frac{4x^2 - 9}{5} = 3 \cdot 30$
$5(5x^2 + 9) - 6(4x^2 - 9) = 90$
Раскроем скобки:
$25x^2 + 45 - 24x^2 + 54 = 90$
Приведем подобные слагаемые:
$(25x^2 - 24x^2) + (45 + 54) = 90$
$x^2 + 99 = 90$
$x^2 = 90 - 99$
$x^2 = -9$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

8) $\frac{x(x - 3)}{7} - 11 = -x$
Умножим обе части уравнения на 7:
$7 \cdot \frac{x(x-3)}{7} - 7 \cdot 11 = 7 \cdot (-x)$
$x(x - 3) - 77 = -7x$
Раскроем скобки:
$x^2 - 3x - 77 = -7x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 3x + 7x - 77 = 0$
$x^2 + 4x - 77 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324$.
$\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-4 + 18}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-4 - 18}{2} = \frac{-22}{2} = -11$
Ответ: $-11; 7$.