Номер 698, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 698, страница 262.

Условие.

698. Записать квадратное уравнение, корни которого отличались бы от корней данного уравнения только знаками:

1) $x^2 - 8x + 15 = 0;$

2) $x^2 + bx + c = 0.$

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы записать квадратное уравнение, корни которого отличаются от корней данного уравнения только знаками, можно воспользоваться одним из следующих методов.

Метод 1: Замена переменной

Пусть дано уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Мы ищем новое уравнение, корнями которого будут $y_1 = -x_1$ и $y_2 = -x_2$. Если $y$ — корень нового уравнения, то $y = -x$, где $x$ — корень исходного уравнения. Отсюда $x = -y$. Подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение:

$a(-y)^2 + b(-y) + c = 0$

$ay^2 - by + c = 0$

Так как имя переменной не имеет значения, мы можем записать искомое уравнение как $ax^2 - bx + c = 0$. Таким образом, чтобы получить новое уравнение, достаточно изменить знак коэффициента при первой степени переменной ($x$) на противоположный.

Метод 2: Использование теоремы Виета

По теореме Виета для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -b/a$

$x_1 \cdot x_2 = c/a$

Для нового уравнения с корнями $y_1 = -x_1$ и $y_2 = -x_2$ найдем их сумму и произведение:

Сумма: $y_1 + y_2 = (-x_1) + (-x_2) = -(x_1 + x_2) = -(-b/a) = b/a$.

Произведение: $y_1 \cdot y_2 = (-x_1)(-x_2) = x_1 \cdot x_2 = c/a$.

По обратной теореме Виета, искомое уравнение (с тем же старшим коэффициентом $a$) будет иметь вид $a(x^2 - (y_1+y_2)x + y_1y_2) = 0$, то есть $a(x^2 - (b/a)x + c/a) = 0$, что равносильно $ax^2 - bx + c = 0$.

Применим эти выводы к задачам.

1)

Дано уравнение: $x^2 - 8x + 15 = 0$.

В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $-8$. Чтобы получить уравнение с корнями, противоположными по знаку, нужно изменить знак этого коэффициента на противоположный, то есть на $8$. Остальные коэффициенты остаются без изменений.

Искомое уравнение имеет вид: $x^2 + 8x + 15 = 0$.

Проверка: Найдем корни исходного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а произведение $x_1 x_2 = 15$. Корни легко подбираются: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$. Следовательно, корни нового уравнения должны быть $-3$ и $-5$. Проверим, являются ли они корнями уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$. По теореме Виета для этого уравнения: Сумма корней: $(-3) + (-5) = -8$. Это соответствует коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком ($-8$). Произведение корней: $(-3) \cdot (-5) = 15$. Это соответствует свободному члену ($15$). Все верно.

Ответ: $x^2 + 8x + 15 = 0$.

2)

Дано уравнение в общем виде: $x^2 + bx + c = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Коэффициент при $x$ равен $b$, свободный член равен $c$. Используя выведенное выше правило, для получения уравнения с противоположными корнями необходимо изменить знак коэффициента при $x$. Текущий коэффициент при $x$ равен $b$. Новый коэффициент будет равен $-b$.

Следовательно, искомое уравнение: $x^2 - bx + c = 0$.

Проверка с помощью теоремы Виета: Для исходного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2$ имеем: $x_1 + x_2 = -b$ и $x_1 x_2 = c$. Новые корни $y_1 = -x_1, y_2 = -x_2$. Их сумма: $y_1 + y_2 = -x_1 - x_2 = -(x_1+x_2) = -(-b) = b$. Их произведение: $y_1 y_2 = (-x_1)(-x_2) = x_1 x_2 = c$. Новое уравнение, составленное по его корням, имеет вид $x^2 - (y_1+y_2)x + y_1y_2 = 0$. Подставляя найденные значения, получаем: $x^2 - bx + c = 0$.

Ответ: $x^2 - bx + c = 0$.