Номер 704, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 704, страница 262.

Условие.

704. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 12x + 35;$

2) $x^2 - 5x - 36;$

3) $2x^2 + x - 3;$

4) $2x^2 - 3x - 5;$

5) $-5x^2 + 11x - 2;$

6) $-4x^2 - 10x + 6;$

7) $-\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27;$

8) $\frac{1}{5}x^2 + x - 10.$

Решение 3.

Решение 4.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни можно найти через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1) $x^2 - 12x + 35$

Найдём корни уравнения $x^2 - 12x + 35 = 0$. Это приведённое квадратное уравнение ($a=1$). По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 12$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 35$. Отсюда корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

Подставляем корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 12x + 35 = 1 \cdot (x - 5)(x - 7) = (x - 5)(x - 7)$.

Ответ: $(x - 5)(x - 7)$.

2) $x^2 - 5x - 36$

Найдём корни уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = -36$. Отсюда корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$.

Либо через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$.

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}$.

$x_1 = \frac{18}{2} = 9$, $x_2 = \frac{-8}{2} = -4$.

Подставляем в формулу разложения:

$x^2 - 5x - 36 = (x - 9)(x - (-4)) = (x - 9)(x + 4)$.

Ответ: $(x - 9)(x + 4)$.

3) $2x^2 + x - 3$

Найдём корни уравнения $2x^2 + x - 3 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{4}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Подставляем в формулу разложения:

$2x^2 + x - 3 = 2(x - 1)(x - (-\frac{3}{2})) = 2(x - 1)(x + \frac{3}{2})$.

Внесём множитель 2 во вторую скобку: $(x - 1)(2x + 3)$.

Ответ: $(x - 1)(2x + 3)$.

4) $2x^2 - 3x - 5$

Найдём корни уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 7}{4}$.

$x_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$, $x_2 = \frac{-4}{4} = -1$.

Подставляем в формулу разложения:

$2x^2 - 3x - 5 = 2(x - \frac{5}{2})(x - (-1)) = 2(x - \frac{5}{2})(x + 1)$.

Внесём множитель 2 в первую скобку: $(2x - 5)(x + 1)$.

Ответ: $(2x - 5)(x + 1)$.

5) $-5x^2 + 11x - 2$

Найдём корни уравнения $-5x^2 + 11x - 2 = 0$.

$D = 11^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-2) = 121 - 40 = 81$.

$x_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot (-5)} = \frac{-11 \pm 9}{-10}$.

$x_1 = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5}$, $x_2 = \frac{-20}{-10} = 2$.

Подставляем в формулу разложения:

$-5x^2 + 11x - 2 = -5(x - \frac{1}{5})(x - 2)$.

Внесём множитель -5 в первую скобку: $(-5x + 1)(x - 2) = (1 - 5x)(x - 2)$.

Также можно внести множитель 5 в первую скобку, а -1 во вторую: $(5x-1)(2-x)$.

Ответ: $(1 - 5x)(x - 2)$ или $(5x-1)(2-x)$.

6) $-4x^2 - 10x + 6$

Сначала вынесем за скобки общий множитель $-2$:

$-4x^2 - 10x + 6 = -2(2x^2 + 5x - 3)$.

Теперь разложим на множители трёхчлен $2x^2 + 5x - 3$. Найдём корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$.

$x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-12}{4} = -3$.

Разложение для $2x^2 + 5x - 3$ равно $2(x - \frac{1}{2})(x - (-3)) = (2x - 1)(x + 3)$.

Возвращаемся к исходному выражению:

$-4x^2 - 10x + 6 = -2(2x - 1)(x + 3)$.

Ответ: $-2(2x - 1)(x + 3)$.

7) $-\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27$

Найдём корни уравнения $-\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27 = 0$. Умножим обе части на -3 для удобства: $x^2 - 24x - 81 = 0$.

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 576 + 324 = 900$.

$x_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{24 \pm 30}{2}$.

$x_1 = \frac{54}{2} = 27$, $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$.

Подставляем корни и исходный коэффициент $a = -\frac{1}{3}$ в формулу разложения:

$-\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27 = -\frac{1}{3}(x - 27)(x - (-3)) = -\frac{1}{3}(x - 27)(x + 3)$.

Ответ: $-\frac{1}{3}(x - 27)(x + 3)$.

8) $\frac{1}{5}x^2 + x - 10$

Найдём корни уравнения $\frac{1}{5}x^2 + x - 10 = 0$. Умножим обе части на 5: $x^2 + 5x - 50 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -5$ и $x_1 \cdot x_2 = -50$. Отсюда корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -10$.

Подставляем корни и исходный коэффициент $a = \frac{1}{5}$ в формулу разложения:

$\frac{1}{5}x^2 + x - 10 = \frac{1}{5}(x - 5)(x - (-10)) = \frac{1}{5}(x - 5)(x + 10)$.

Ответ: $\frac{1}{5}(x - 5)(x + 10)$.