Номер 701, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 701, страница 262.

Условие.

701. 1) $\frac{3}{x+2} = 4 + \frac{3}{x-1};$

2) $\frac{1}{x+1} = 3 + \frac{3}{3x-1};$

3) $1 + \frac{5x}{x+1} = \frac{6x+2}{(x+1)^2};$

4) $2 + \frac{x}{x+2} = \frac{12-x}{(x+2)^2};$

5) $\frac{3x}{x+2} + \frac{1}{x-2} = \frac{4}{x^2-4};$

6) $\frac{2x}{x-3} - \frac{1}{x+3} = \frac{6}{x^2-9}.$

Решение 3.

Решение 4.

1) Исходное уравнение: $ \frac{3}{x+2} = 4 + \frac{3}{x-1} $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $ x+2 \neq 0 $ и $ x-1 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -2 $ и $ x \neq 1 $.
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$ \frac{3}{x+2} - \frac{3}{x-1} - 4 = 0 $
Приведем все члены к общему знаменателю $ (x+2)(x-1) $:
$ \frac{3(x-1) - 3(x+2) - 4(x+2)(x-1)}{(x+2)(x-1)} = 0 $
Раскроем скобки в числителе:
$ 3x - 3 - 3x - 6 - 4(x^2 - x + 2x - 2) = 0 $
$ -9 - 4(x^2 + x - 2) = 0 $
$ -9 - 4x^2 - 4x + 8 = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ -4x^2 - 4x - 1 = 0 $
Умножим обе части на -1:
$ 4x^2 + 4x + 1 = 0 $
Это полный квадрат суммы:
$ (2x+1)^2 = 0 $
$ 2x+1 = 0 $
$ 2x = -1 $
$ x = -0.5 $
Корень $ x = -0.5 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -0.5

2) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x+1} = 3 + \frac{3}{3x-1} $.
ОДЗ: $ x+1 \neq 0 $ и $ 3x-1 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -1 $ и $ x \neq \frac{1}{3} $.
Перенесем все члены в левую часть:
$ \frac{1}{x+1} - \frac{3}{3x-1} - 3 = 0 $
Общий знаменатель $ (x+1)(3x-1) $:
$ \frac{1(3x-1) - 3(x+1) - 3(x+1)(3x-1)}{(x+1)(3x-1)} = 0 $
Раскроем скобки в числителе:
$ 3x - 1 - 3x - 3 - 3(3x^2 - x + 3x - 1) = 0 $
$ -4 - 3(3x^2 + 2x - 1) = 0 $
$ -4 - 9x^2 - 6x + 3 = 0 $
$ -9x^2 - 6x - 1 = 0 $
Умножим на -1:
$ 9x^2 + 6x + 1 = 0 $
Это полный квадрат суммы:
$ (3x+1)^2 = 0 $
$ 3x+1 = 0 $
$ 3x = -1 $
$ x = -\frac{1}{3} $
Корень $ x = -\frac{1}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -1/3

3) Исходное уравнение: $ 1 + \frac{5x}{x+1} = \frac{6x+2}{(x+1)^2} $.
ОДЗ: $ x+1 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -1 $.
Перенесем все в левую часть:
$ 1 + \frac{5x}{x+1} - \frac{6x+2}{(x+1)^2} = 0 $
Общий знаменатель $ (x+1)^2 $:
$ \frac{1 \cdot (x+1)^2 + 5x(x+1) - (6x+2)}{(x+1)^2} = 0 $
Раскроем скобки в числителе:
$ (x^2 + 2x + 1) + (5x^2 + 5x) - 6x - 2 = 0 $
$ x^2 + 2x + 1 + 5x^2 + 5x - 6x - 2 = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 6x^2 + x - 1 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25 $.
$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1+5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $
$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1-5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -0.5; 1/3

4) Исходное уравнение: $ 2 + \frac{x}{x+2} = \frac{12-x}{(x+2)^2} $.
ОДЗ: $ x+2 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -2 $.
Перенесем все в левую часть:
$ 2 + \frac{x}{x+2} - \frac{12-x}{(x+2)^2} = 0 $
Общий знаменатель $ (x+2)^2 $:
$ \frac{2(x+2)^2 + x(x+2) - (12-x)}{(x+2)^2} = 0 $
Раскроем скобки в числителе:
$ 2(x^2 + 4x + 4) + x^2 + 2x - 12 + x = 0 $
$ 2x^2 + 8x + 8 + x^2 + 2x - 12 + x = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 3x^2 + 11x - 4 = 0 $
Решим квадратное уравнение: $ D = 11^2 - 4(3)(-4) = 121 + 48 = 169 $.
$ x_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11+13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
$ x_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11-13}{6} = \frac{-24}{6} = -4 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -4; 1/3

5) Исходное уравнение: $ \frac{3x}{x+2} + \frac{1}{x-2} = \frac{4}{x^2-4} $.
Заметим, что $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $.
ОДЗ: $ x \neq -2 $ и $ x \neq 2 $.
Приведем левую часть к общему знаменателю $ (x+2)(x-2) $:
$ \frac{3x(x-2) + 1(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{4}{(x+2)(x-2)} $
Так как знаменатели равны, приравняем числители (при условии соблюдения ОДЗ):
$ 3x(x-2) + 1(x+2) = 4 $
$ 3x^2 - 6x + x + 2 = 4 $
$ 3x^2 - 5x + 2 - 4 = 0 $
$ 3x^2 - 5x - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение: $ D = (-5)^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49 $.
$ x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5+7}{6} = \frac{12}{6} = 2 $
$ x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5-7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $
Проверим корни по ОДЗ. $ x_1 = 2 $ не является решением, так как не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в ноль). $ x_2 = -\frac{1}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -1/3

6) Исходное уравнение: $ \frac{2x}{x-3} - \frac{1}{x+3} = \frac{6}{x^2-9} $.
Заметим, что $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $.
ОДЗ: $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.
Приведем левую часть к общему знаменателю $ (x-3)(x+3) $:
$ \frac{2x(x+3) - 1(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{6}{(x-3)(x+3)} $
Приравняем числители:
$ 2x(x+3) - 1(x-3) = 6 $
$ 2x^2 + 6x - x + 3 = 6 $
$ 2x^2 + 5x + 3 - 6 = 0 $
$ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $
Решим квадратное уравнение: $ D = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 $.
$ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5+7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
$ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5-7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 $
Проверим корни по ОДЗ. $ x_1 = \frac{1}{2} $ удовлетворяет ОДЗ. $ x_2 = -3 $ не является решением, так как не входит в ОДЗ.
Ответ: 0.5