Номер 694, страница 261 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 694, страница 261.

Условие.

694. 1) $2x^2 + x - 3 = 0;$

2) $20 + 8x - x^2 = 0;$

3) $2x^2 - 9x = 35;$

4) $(x + 5)(x - 3) = 2x - 7;$

5) $2(x - 2)(x + 2) = (x + 1.5)^2 + 4\left(x - 5\frac{1}{16}\right);$

6) $(x - 3)(x - 2) = 7x - 1.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $2x^2 + x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2$, $b=1$, $c=-3$.
Для решения используем формулу корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D$ – дискриминант.
Сначала найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.
Теперь найдем корни:
$x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$
$x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: $x_1 = -1.5, x_2 = 1$.

2) $20 + 8x - x^2 = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, умножив все члены на $-1$.
$x^2 - 8x - 20 = 0$
Здесь $a=1$, $b=-8$, $c=-20$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни по формуле:
$x_1 = \frac{-(-8) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-(-8) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 10$.

3) $2x^2 - 9x = 35$

Перенесем 35 в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду.
$2x^2 - 9x - 35 = 0$
Здесь $a=2$, $b=-9$, $c=-35$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 81 + 280 = 361$.
$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$.
Найдем корни по формуле:
$x_1 = \frac{-(-9) - 19}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 19}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$
$x_2 = \frac{-(-9) + 19}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 19}{4} = \frac{28}{4} = 7$
Ответ: $x_1 = -2.5, x_2 = 7$.

4) $(x + 5)(x - 3) = 2x - 7$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения.
$x^2 - 3x + 5x - 15 = 2x - 7$
$x^2 + 2x - 15 = 2x - 7$
Перенесем все члены в левую часть.
$x^2 + 2x - 2x - 15 + 7 = 0$
$x^2 - 8 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 8 в правую часть.
$x^2 = 8$
Извлечем квадратный корень из обеих частей.
$x = \pm\sqrt{8} = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm2\sqrt{2}$
Ответ: $x_1 = -2\sqrt{2}, x_2 = 2\sqrt{2}$.

5) $2(x - 2)(x + 2) = (x + 1.5)^2 + 4(x - 5\frac{1}{16})$

Упростим обе части уравнения по отдельности.
Левая часть: используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$2(x^2 - 2^2) = 2(x^2 - 4) = 2x^2 - 8$
Правая часть: раскроем скобки.
$(x + 1.5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1.5 + 1.5^2 = x^2 + 3x + 2.25$
Преобразуем смешанную дробь $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.
$4(x - \frac{81}{16}) = 4x - 4 \cdot \frac{81}{16} = 4x - \frac{81}{4} = 4x - 20.25$
Теперь соберем правую часть: $(x^2 + 3x + 2.25) + (4x - 20.25) = x^2 + 7x - 18$.
Приравняем левую и правую части:
$2x^2 - 8 = x^2 + 7x - 18$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные.
$2x^2 - x^2 - 7x - 8 + 18 = 0$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
$\sqrt{D} = 3$.
$x_1 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 5$.

6) $(x - 3)(x - 2) = 7x - 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения.
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 7x - 1$
$x^2 - 5x + 6 = 7x - 1$
Перенесем все члены в левую часть.
$x^2 - 5x - 7x + 6 + 1 = 0$
$x^2 - 12x + 7 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-12$, $c=7$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 144 - 28 = 116$.
$\sqrt{D} = \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$.
Найдем корни по формуле:
$x = \frac{-(-12) \pm 2\sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm 2\sqrt{29}}{2} = 6 \pm \sqrt{29}$
$x_1 = 6 - \sqrt{29}$
$x_2 = 6 + \sqrt{29}$
Ответ: $x_1 = 6 - \sqrt{29}, x_2 = 6 + \sqrt{29}$.