Номер 700, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 700, страница 262.

Условие.

700. 1) $x^4 + x^2 - 2 = 0;$

2) $x^4 - x^2 - 12 = 0;$

3) $x^4 + 3x^2 + 2 = 0;$

4) $x^4 + 5x^2 + 6 = 0.$

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим биквадратное уравнение $x^4 + x^2 - 2 = 0$.

Это уравнение решается введением новой переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.
После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 + t - 2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$.

Теперь необходимо вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.
Для первого корня $t_1 = 1$: так как $1 \ge 0$, это допустимое значение. Получаем уравнение $x^2 = 1$, которое имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Для второго корня $t_2 = -2$: так как $-2 < 0$, это значение не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Следовательно, уравнение $x^2 = -2$ не имеет действительных корней.

Ответ: $1; -1$.

2) Решим биквадратное уравнение $x^4 - x^2 - 12 = 0$.

Введем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение преобразуется в квадратное:
$t^2 - t - 12 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3$.

Выполним обратную замену.
Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию $t \ge 0$. Уравнение $x^2 = 4$ дает два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому уравнение $x^2 = -3$ не имеет действительных корней.

Ответ: $2; -2$.

3) Решим биквадратное уравнение $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 + 3t + 2 = 0$.

Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.
Также можно вычислить через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$.
$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2$.

Выполним обратную замену.
Оба корня для $t$ отрицательные: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.
Они не удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Следовательно, уравнения $x^2 = -1$ и $x^2 = -2$ не имеют действительных решений.

Ответ: действительных корней нет.

4) Решим биквадратное уравнение $x^4 + 5x^2 + 6 = 0$.

Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Уравнение примет вид:
$t^2 + 5t + 6 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета: сумма корней $-5$, произведение $6$. Корни: $t_1 = -2$ и $t_2 = -3$.
Через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$.
$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 - 1}{2} = -3$.

Возвращаемся к переменной $x$.
Оба найденных значения для $t$ отрицательные ($t_1 = -2$, $t_2 = -3$).
Так как $x^2$ не может быть отрицательным для действительных $x$, уравнения $x^2 = -2$ и $x^2 = -3$ не имеют действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.