Номер 707, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 707, страница 263.

Условие.

707. 1) $16x^2 + 8xy - 3y^2;$

2) $4 + a^4 - 5a^2;$

3) $b^4 - 13b^2 + 36;$

4) $3x^2 - 6xm - 9m^2.$

Решение 4.

1) $16x^2+8xy-3y^2$

Для разложения на множители представим средний член $8xy$ в виде суммы или разности двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов при $x^2$ и $y^2$ (то есть $16 \cdot (-3) = -48$), а сумма равна коэффициенту при $xy$ (то есть $8$). Такими числами являются $12$ и $-4$, так как $12 \cdot (-4) = -48$ и $12 + (-4) = 8$.

Запишем исходное выражение, разбив средний член:

$16x^2 + 12xy - 4xy - 3y^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(16x^2 + 12xy) - (4xy + 3y^2) = 4x(4x + 3y) - y(4x + 3y)$

Теперь вынесем общий множитель $(4x + 3y)$:

$(4x - y)(4x + 3y)$

Ответ: $(4x - y)(4x + 3y)$

2) $4+a^4-5a^2$

Перепишем многочлен, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $a$:

$a^4 - 5a^2 + 4$

Данное выражение является биквадратным трехчленом. Сделаем замену переменной: пусть $z = a^2$. Тогда выражение примет вид:

$z^2 - 5z + 4$

Разложим этот квадратный трехчлен на множители. По теореме Виета, найдем два числа, произведение которых равно $4$, а сумма равна $-5$. Это числа $-1$ и $-4$.

$z^2 - 5z + 4 = (z - 1)(z - 4)$

Выполним обратную замену $z = a^2$:

$(a^2 - 1)(a^2 - 4)$

Каждый из полученных множителей является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$

Окончательное разложение:

$(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2)$

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2)$

3) $b^4-13b^2+36$

Это биквадратный трехчлен. Сделаем замену переменной, чтобы свести его к квадратному. Пусть $z = b^2$. Тогда получим:

$z^2 - 13z + 36$

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно $36$, а сумма равна $-13$. Эти числа $-4$ и $-9$.

$z^2 - 13z + 36 = (z - 4)(z - 9)$

Выполним обратную замену $z = b^2$:

$(b^2 - 4)(b^2 - 9)$

Оба множителя представляют собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ для каждого из них:

$b^2 - 4 = b^2 - 2^2 = (b - 2)(b + 2)$

$b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b - 3)(b + 3)$

Итоговый результат:

$(b - 2)(b + 2)(b - 3)(b + 3)$

Ответ: $(b - 2)(b + 2)(b - 3)(b + 3)$

4) $3x^2-6xm-9m^2$

В первую очередь вынесем за скобки общий числовой множитель $3$:

$3(x^2 - 2xm - 3m^2)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках, рассматривая его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Представим средний член $-2xm$ в виде суммы $-3xm + xm$:

$x^2 - 3xm + xm - 3m^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 3xm) + (xm - 3m^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(x - 3m) + m(x - 3m)$

Вынесем общий множитель $(x - 3m)$:

$(x - 3m)(x + m)$

Учитывая вынесенный вначале множитель $3$, получаем окончательный ответ:

$3(x - 3m)(x + m)$

Ответ: $3(x - 3m)(x + m)$