Номер 714, страница 264 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 714, страница 264.

Условие.

714. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению реки за то же время, которое ему понадобилось для прохождения 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде (например, в озере).

По условию, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Тогда скорость катера, когда он движется по течению реки, равна сумме собственной скорости и скорости течения: $(x + 3)$ км/ч.

Скорость катера, когда он движется против течения реки, равна разности собственной скорости и скорости течения: $(x - 3)$ км/ч. Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — это скорость.

Время, затраченное катером на путь в 12 км против течения, составляет $t_1 = \frac{12}{x - 3}$ часа.

Время, затраченное катером на путь в 5 км по течению, составляет $t_2 = \frac{5}{x + 3}$ часа.

Общее время, которое катер плыл по реке, равно сумме $t_1$ и $t_2$: $t_{река} = \frac{12}{x - 3} + \frac{5}{x + 3}$ часа.

Время, которое катер затратил на прохождение 18 км по озеру (где он движется с собственной скоростью), составляет $t_{озеро} = \frac{18}{x}$ часа.

По условию задачи, время движения по реке равно времени движения по озеру, то есть $t_{река} = t_{озеро}$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{12}{x - 3} + \frac{5}{x + 3} = \frac{18}{x}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$:

$\frac{12(x + 3) + 5(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{18}{x}$

$\frac{12x + 36 + 5x - 15}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$

$\frac{17x + 21}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $x \neq 0$, $x \neq 3$ и $x \neq -3$:

$x(17x + 21) = 18(x^2 - 9)$

Раскроем скобки:

$17x^2 + 21x = 18x^2 - 162$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$18x^2 - 17x^2 - 21x - 162 = 0$

$x^2 - 21x - 162 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-21) + 33}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27$

$x_2 = \frac{-(-21) - 33}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Корень $x_2 = -6$ не является решением задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Кроме того, он не удовлетворяет нашему первоначальному условию $x > 3$.

Корень $x_1 = 27$ удовлетворяет условию $x > 3$, следовательно, это и есть искомая собственная скорость катера.

Выполним проверку:

Время движения по реке: $\frac{12}{27 - 3} + \frac{5}{27 + 3} = \frac{12}{24} + \frac{5}{30} = 0.5 + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ часа.

Время движения по озеру: $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$ часа.

Времена равны, значит, задача решена верно.

Ответ: собственная скорость катера равна 27 км/ч.