Номер 721, страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 721, страница 265.

Условие.

721. Доказать, что:

1) если $(y-3)^2 > (3+y)(y-3)$, то $y<3$;

2) если $(3a+b)^2 < (3a-b)^2$, то $ab<0$.

Решение 3.

Решение 4.

1) Начнем с исходного неравенства $(y-3)^2 > (3+y)(y-3)$ и преобразуем его. Перенесем все члены в левую часть:

$(y-3)^2 - (3+y)(y-3) > 0$

Вынесем общий множитель $(y-3)$ за скобки:

$(y-3) \cdot [(y-3) - (3+y)] > 0$

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки:

$(y-3) \cdot (y - 3 - 3 - y) > 0$

$(y-3) \cdot (-6) > 0$

Разделим обе части неравенства на $-6$. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$y-3 < 0$

Перенесем $-3$ в правую часть, чтобы выделить $y$:

$y < 3$

Таким образом, мы доказали, что из первоначального неравенства следует $y < 3$.

Ответ: доказано.

2) Рассмотрим исходное неравенство $(3a+b)^2 < (3a-b)^2$. Перенесем все члены в левую часть:

$(3a+b)^2 - (3a-b)^2 < 0$

Левая часть представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$[(3a+b) - (3a-b)] \cdot [(3a+b) + (3a-b)] < 0$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(3a+b-3a+b) \cdot (3a+b+3a-b) < 0$

$(2b) \cdot (6a) < 0$

$12ab < 0$

Разделим обе части неравенства на 12. Так как 12 является положительным числом, знак неравенства не изменится:

$ab < 0$

Таким образом, мы доказали, что из первоначального неравенства следует $ab < 0$.

Ответ: доказано.