Номер 727, страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 727, страница 265.

Условие.

727. Доказать, что при любых $a$ и $b$ выполняется неравенство

$a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 \ge 0.$

Решение 3.

Решение 4.

Требуется доказать, что неравенство $a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 \ge 0$ выполняется для любых значений $a$ и $b$.

Для этого преобразуем левую часть неравенства, сгруппировав слагаемые, содержащие $a$, и слагаемые, содержащие $b$:

$a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 = (a^2 - 2a) + (4b^2 - 12b) + 10$

Выделим полные квадраты для каждого выражения в скобках.

Для выражения с переменной $a$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$a^2 - 2a = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $1^2 = 1$:
$a^2 - 2a + 1 - 1 = (a-1)^2 - 1$

Для выражения с переменной $b$ поступим аналогично.
$4b^2 - 12b = (2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $3^2 = 9$:
$(2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot 3 + 9 - 9 = (2b-3)^2 - 9$

Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного неравенства:
$((a-1)^2 - 1) + ((2b-3)^2 - 9) + 10$

Упростим это выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$(a-1)^2 - 1 + (2b-3)^2 - 9 + 10 = (a-1)^2 + (2b-3)^2 - 10 + 10 = (a-1)^2 + (2b-3)^2$

Таким образом, исходное неравенство $a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 \ge 0$ эквивалентно неравенству:
$(a-1)^2 + (2b-3)^2 \ge 0$

Полученное неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как:
1. $(a-1)^2$ — это квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(a-1)^2 \ge 0$.
2. $(2b-3)^2$ — это также квадрат действительного числа, и его значение также всегда неотрицательно: $(2b-3)^2 \ge 0$.
3. Сумма двух неотрицательных чисел всегда является неотрицательным числом.

Следовательно, $(a-1)^2 + (2b-3)^2 \ge 0$ при любых $a$ и $b$, а значит и исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 \ge 0$ доказано, так как оно эквивалентно верному неравенству $(a-1)^2 + (2b-3)^2 \ge 0$.