Номер 728, страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 728, страница 265.

Условие.

728. Решить систему неравенств:

1)

$$ \begin{cases} 5x - 4 \geq x - 3, \\ -2x + 11 > x + 1, \\ 12 - 3x > 4 - 5x; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} 3x \leq 5 - 6x, \\ -3x + 1 \leq 4x - 1, \\ 7 - 2x > 2x + 9; \end{cases} $$

3)

$$ \begin{cases} 3x - 2 > 2(x - 3) + 5x, \\ 2x^2 + (5 + x)^2 > 3(x - 5)(x + 5); \end{cases} $$

4)

$$ \begin{cases} 8x(x + 2)(x - 2) < (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 5x, \\ \left(\frac{1}{4}x + 2\right)\left(2 - \frac{1}{4}x\right) - \left(3 - \frac{1}{4}x\right)\left(\frac{1}{4}x + 2\right) > -3; \end{cases} $$

5)

$$ \begin{cases} 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 3) > 2x(x + 3), \\ \frac{x + 3}{3} > \frac{3x + 4}{2}; \end{cases} $$

6)

$$ \begin{cases} \left(3x + \frac{1}{2}\right)(2 - x) + \frac{1}{2}(x + 1) > 3(3 - x)(3 + x) - 1, \\ 2 - (2x + 3)^2 + (3 + 2x)(2x - 3) < -2\frac{1}{3}(9 + x) + \frac{1}{3}. \end{cases} $$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 5x - 4 \ge x - 3, \\ -2x + 11 > x + 1, \\ 12 - 3x > 4 - 5x; \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $5x - 4 \ge x - 3$
$5x - x \ge 4 - 3$
$4x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{4}$

2) $-2x + 11 > x + 1$
$11 - 1 > x + 2x$
$10 > 3x$
$x < \frac{10}{3}$

3) $12 - 3x > 4 - 5x$
$5x - 3x > 4 - 12$
$2x > -8$
$x > -4$

Найдем пересечение полученных решений: $x \ge \frac{1}{4}$, $x < \frac{10}{3}$ и $x > -4$. На числовой оси это соответствует интервалу, который больше $-4$, больше или равен $\frac{1}{4}$ и меньше $\frac{10}{3}$.
Общим решением является интервал $ \frac{1}{4} \le x < \frac{10}{3} $.

Ответ: $x \in [\frac{1}{4}; \frac{10}{3})$.

2)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x \le 5 - 6x, \\ -3x + 1 \le 4x - 1, \\ 7 - 2x > 2x + 9; \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $3x \le 5 - 6x$
$3x + 6x \le 5$
$9x \le 5$
$x \le \frac{5}{9}$

2) $-3x + 1 \le 4x - 1$
$1 + 1 \le 4x + 3x$
$2 \le 7x$
$x \ge \frac{2}{7}$

3) $7 - 2x > 2x + 9$
$7 - 9 > 2x + 2x$
$-2 > 4x$
$x < -\frac{2}{4}$
$x < -\frac{1}{2}$

Найдем пересечение полученных решений: $x \le \frac{5}{9}$, $x \ge \frac{2}{7}$ и $x < -\frac{1}{2}$.
Условия $x \ge \frac{2}{7}$ (x больше положительного числа) и $x < -\frac{1}{2}$ (x меньше отрицательного числа) являются взаимоисключающими. Не существует числа, которое одновременно удовлетворяло бы этим двум условиям.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

3)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x - 2 > 2(x - 3) + 5x, \\ 2x^2 + (5 + x)^2 > 3(x - 5)(x + 5); \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $3x - 2 > 2(x - 3) + 5x$
$3x - 2 > 2x - 6 + 5x$
$3x - 2 > 7x - 6$
$6 - 2 > 7x - 3x$
$4 > 4x$
$1 > x$ или $x < 1$

2) $2x^2 + (5 + x)^2 > 3(x - 5)(x + 5)$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$2x^2 + (25 + 10x + x^2) > 3(x^2 - 25)$
$3x^2 + 10x + 25 > 3x^2 - 75$
$10x + 25 > -75$
$10x > -75 - 25$
$10x > -100$
$x > -10$

Найдем пересечение решений $x < 1$ и $x > -10$.

Ответ: $x \in (-10; 1)$.

4)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 8x(x + 2)(x - 2) < (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 5x, \\ (\frac{1}{4}x + 2)(2 - \frac{1}{4}x) - (3 - \frac{1}{4}x)(\frac{1}{4}x + 2) > -3; \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $8x(x + 2)(x - 2) < (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 5x$
Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для левой части и формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ для правой части:
$8x(x^2 - 4) < (2x)^3 - 3^3 - 5x$
$8x^3 - 32x < 8x^3 - 27 - 5x$
$-32x < -27 - 5x$
$-32x + 5x < -27$
$-27x < -27$
$x > 1$ (знак неравенства меняется, так как делим на отрицательное число).

2) $(\frac{1}{4}x + 2)(2 - \frac{1}{4}x) - (3 - \frac{1}{4}x)(\frac{1}{4}x + 2) > -3$
Вынесем общий множитель $(\frac{1}{4}x + 2)$ за скобки:
$(\frac{1}{4}x + 2) \left( (2 - \frac{1}{4}x) - (3 - \frac{1}{4}x) \right) > -3$
$(\frac{1}{4}x + 2) (2 - \frac{1}{4}x - 3 + \frac{1}{4}x) > -3$
$(\frac{1}{4}x + 2) (-1) > -3$
$-\frac{1}{4}x - 2 > -3$
$-\frac{1}{4}x > -1$
$x < 4$ (знак неравенства меняется при умножении на -4).

Найдем пересечение решений $x > 1$ и $x < 4$.

Ответ: $x \in (1; 4)$.

5)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2(x - \frac{1}{2})(x + 3) > 2x(x + 3), \\ \frac{x + 3}{3} > \frac{3x + 4}{2}; \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $2(x - \frac{1}{2})(x + 3) > 2x(x + 3)$
Умножим 2 на первую скобку:
$(2x - 1)(x + 3) > 2x(x + 3)$
Перенесем все члены в левую часть:
$(2x - 1)(x + 3) - 2x(x + 3) > 0$
Вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:
$(x + 3) ((2x - 1) - 2x) > 0$
$(x + 3)(-1) > 0$
$-(x + 3) > 0$
$x + 3 < 0$
$x < -3$

2) $\frac{x + 3}{3} > \frac{3x + 4}{2}$
Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей), чтобы избавиться от дробей:
$2(x + 3) > 3(3x + 4)$
$2x + 6 > 9x + 12$
$6 - 12 > 9x - 2x$
$-6 > 7x$
$x < -\frac{6}{7}$

Найдем пересечение решений $x < -3$ и $x < -\frac{6}{7}$. Поскольку $-3 < -\frac{6}{7}$, пересечением является $x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

6)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} (3x + \frac{1}{2})(2 - x) + \frac{1}{2}(x + 1) > 3(3 - x)(3 + x) - 1, \\ 2 - (2x + 3)^2 + (3 + 2x)(2x - 3) < -2\frac{1}{3}(9 + x) + \frac{1}{3}; \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $(3x + \frac{1}{2})(2 - x) + \frac{1}{2}(x + 1) > 3(3 - x)(3 + x) - 1$
Раскроем скобки:
$6x - 3x^2 + 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} > 3(9 - x^2) - 1$
$-3x^2 + 6x + \frac{3}{2} > 27 - 3x^2 - 1$
$-3x^2 + 6x + \frac{3}{2} > 26 - 3x^2$
$6x + \frac{3}{2} > 26$
$6x > 26 - \frac{3}{2}$
$6x > \frac{52}{2} - \frac{3}{2}$
$6x > \frac{49}{2}$
$x > \frac{49}{12}$

2) $2 - (2x + 3)^2 + (3 + 2x)(2x - 3) < -2\frac{1}{3}(9 + x) + \frac{1}{3}$
Упростим левую часть, используя формулы квадрата суммы и разности квадратов. Переведем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$.
$2 - (4x^2 + 12x + 9) + (4x^2 - 9) < -\frac{7}{3}(9 + x) + \frac{1}{3}$
$2 - 4x^2 - 12x - 9 + 4x^2 - 9 < -21 - \frac{7}{3}x + \frac{1}{3}$
$-12x - 16 < -21 - \frac{7}{3}x + \frac{1}{3}$
Умножим обе части на 3:
$-36x - 48 < -63 - 7x + 1$
$-36x - 48 < -62 - 7x$
$-36x + 7x < -62 + 48$
$-29x < -14$
$x > \frac{14}{29}$ (знак неравенства меняется).

Найдем пересечение решений $x > \frac{49}{12}$ и $x > \frac{14}{29}$.
Сравним дроби: $\frac{49}{12} = 4\frac{1}{12}$ и $\frac{14}{29} \approx 0.48$.
Так как $\frac{49}{12} > \frac{14}{29}$, то пересечением является $x > \frac{49}{12}$.

Ответ: $x \in (\frac{49}{12}; +\infty)$.