Номер 735, страница 266 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 735, страница 266.

Условие.

735. Упростить выражение:

1) $\left(\frac{a+1}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1}\right) : \left(\frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a-1}}\right);$

2) $\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}\right) : \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}};$

3) $\left(\frac{1}{\sqrt{1-a}} - \sqrt{1+a}\right) : \left(\frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - 1\right);$

4) $\left(\frac{a+1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{a-\sqrt{a}} - \frac{a}{1+\sqrt{a}}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}-a\sqrt{3}}{a+1}.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $ \left( \frac{a+1}{\sqrt{a}-1} - \sqrt{a+1} \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a}-1} \right) $

Примечание: В исходном выражении, скорее всего, допущена опечатка. Если предположить, что в знаменателях вместо $\sqrt{a}-1$ должно быть $\sqrt{a-1}$, то выражение значительно упрощается и решение становится стандартным для такого типа задач. Решим задачу с этим предположением.

Исправленное выражение: $ \left( \frac{a+1}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1} \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a-1}} \right) $

Область допустимых значений (ОДЗ): $a-1 > 0$ и $a+1 > 0$, что дает $a > 1$.

1. Упростим выражение в первой скобке. Для этого вынесем общий множитель $\sqrt{a+1}$ за скобку:

$ \frac{a+1}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1} = \frac{(\sqrt{a+1})^2}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1} = \sqrt{a+1} \left( \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} - 1 \right) = \sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}} $

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a-1}} = \frac{\sqrt{a-1} - \sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}} $

3. Выполним деление полученных выражений:

$ \left( \sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}} \right) : \left( \frac{\sqrt{a-1} - \sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}} \right) = $

$ = \sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}} \cdot \frac{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1} - \sqrt{a+1}} $

Заметим, что $ \sqrt{a-1} - \sqrt{a+1} = -(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}) $. Подставим это в выражение:

$ = \sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}} \cdot \frac{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}}{-(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})} $

Сокращаем общие множители $\sqrt{a-1}$ и $(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})$:

$ = \sqrt{a+1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{\sqrt{a+1}}{-1} = -\sqrt{a+1} \cdot \sqrt{a+1} = -(a+1) $

Ответ: $-(a+1)$

2) $ \left( \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}} \right) : \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a}-1} $

ОДЗ: $a \ge 0$, $a \ne 1$.

1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{a}+\sqrt{a+1})(\sqrt{a}-\sqrt{a+1})$.

Знаменатель: $ (\sqrt{a}+\sqrt{a+1})(\sqrt{a}-\sqrt{a+1}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a+1})^2 = a - (a+1) = -1 $

Числитель: $ (\sqrt{a}-\sqrt{a+1}) - (\sqrt{a}+\sqrt{a+1}) = \sqrt{a}-\sqrt{a+1} - \sqrt{a}-\sqrt{a+1} = -2\sqrt{a+1} $

Таким образом, выражение в скобках равно: $ \frac{-2\sqrt{a+1}}{-1} = 2\sqrt{a+1} $

2. Выполним деление:

$ 2\sqrt{a+1} : \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a}-1} = 2\sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a+1}} $

Сокращаем на $\sqrt{a+1}$ (который не равен нулю в ОДЗ):

$ = 2(\sqrt{a}-1) $

Ответ: $2(\sqrt{a}-1)$

3) $ \left( \frac{1}{\sqrt{1-a}} - \sqrt{1+a} \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - 1 \right) $

ОДЗ: $1-a > 0$, $1+a \ge 0$, $1-a^2 > 0$ и делитель не равен нулю $ \frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - 1 \ne 0 $.

Из этих условий получаем: $a < 1$, $a \ge -1$, $-1 < a < 1$ и $a \ne 0$. Итоговая ОДЗ: $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

1. Упростим выражение в первой скобке:

$ \frac{1}{\sqrt{1-a}} - \sqrt{1+a} = \frac{1 - \sqrt{1+a}\sqrt{1-a}}{\sqrt{1-a}} = \frac{1 - \sqrt{(1+a)(1-a)}}{\sqrt{1-a}} = \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} $

2. Упростим выражение во второй скобке:

$ \frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - 1 = \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a^2}} $

3. Выполним деление:

$ \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} : \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a^2}} = \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} \cdot \frac{\sqrt{1-a^2}}{1 - \sqrt{1-a^2}} $

Сокращаем на $(1 - \sqrt{1-a^2})$ (не равен нулю в ОДЗ):

$ = \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} = \frac{\sqrt{(1-a)(1+a)}}{\sqrt{1-a}} = \sqrt{\frac{(1-a)(1+a)}{1-a}} = \sqrt{1+a} $

Ответ: $\sqrt{1+a}$

4) $ \left( \frac{a+1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{a-\sqrt{a}} - \frac{a}{1+\sqrt{a}} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}-a\sqrt{3}}{a+1} $

ОДЗ: $a > 0$ и $a \ne 1$.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель $a-\sqrt{a}$ на множители: $a-\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-1)$.

Общий знаменатель для дробей в скобках: $\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)(1+\sqrt{a}) = \sqrt{a}(a-1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(a+1)(\sqrt{a}-1)(1+\sqrt{a})}{\sqrt{a}(a-1)} + \frac{1(1+\sqrt{a})}{\sqrt{a}(a-1)} - \frac{a\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(a-1)} = $

$ = \frac{(a+1)(a-1) + (1+\sqrt{a}) - a\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(a-1)} = $

$ = \frac{(a^2-1) + (1+\sqrt{a}) - (a^2-a\sqrt{a})}{\sqrt{a}(a-1)} = $

$ = \frac{a^2-1+1+\sqrt{a}-a^2+a\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-1)} = \frac{\sqrt{a}+a\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-1)} = \frac{\sqrt{a}(1+a)}{\sqrt{a}(a-1)} = \frac{a+1}{a-1} $

2. Упростим второй множитель:

$ \frac{\sqrt{3}-a\sqrt{3}}{a+1} = \frac{\sqrt{3}(1-a)}{a+1} = \frac{-\sqrt{3}(a-1)}{a+1} $

3. Выполним умножение:

$ \frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{-\sqrt{3}(a-1)}{a+1} $

Сокращаем $(a+1)$ и $(a-1)$ (не равны нулю в ОДЗ):

$ = -\sqrt{3} $

Ответ: $-\sqrt{3}$