Номер 739, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 739, страница 267.

Условие.

739. При каких значениях $k$ число $-2$ является корнем уравнения $(k-2)x^2 - 7x - 2k^2 = 0?$

Решение 3.

Решение 4.

Если число $-2$ является корнем уравнения, то при подстановке этого значения вместо $x$ уравнение обращается в верное числовое равенство.

Подставим $x = -2$ в данное уравнение $(k-2)x^2 - 7x - 2k^2 = 0$:

$(k-2)(-2)^2 - 7(-2) - 2k^2 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $k$. Сначала выполним вычисления:

$(k-2) \cdot 4 + 14 - 2k^2 = 0$

Раскроем скобки:

$4k - 8 + 14 - 2k^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые и расположим их в порядке убывания степеней $k$:

$-2k^2 + 4k + 6 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на $-2$:

$k^2 - 2k - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $k$. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$k_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$k_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Следовательно, при $k=3$ и $k=-1$ число $-2$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: при $k = -1$ и $k = 3$.