Номер 737, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 737, страница 267.

Условие.

737. Доказать, что при любом $y$ положительно значение выражения:

1) $(y-3)(y-1)+5;$

2) $(y-4)(y-6)+3.$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Чтобы доказать, что выражение $(y-3)(y-1)+5$ положительно при любом значении $y$, преобразуем его.

Сначала раскроем скобки, перемножив многочлены:

$(y-3)(y-1)+5 = y \cdot y - y \cdot 1 - 3 \cdot y + (-3) \cdot (-1) + 5 = y^2 - y - 3y + 3 + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 4y + 8$

Теперь выделим полный квадрат из полученного квадратного трехчлена. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В нашем случае $a=y$, $2ab = 4y$, откуда $b=2$. Нам не хватает слагаемого $b^2=2^2=4$. Добавим и вычтем 4:

$y^2 - 4y + 8 = (y^2 - 4y + 4) - 4 + 8 = (y-2)^2 + 4$

Проанализируем полученное выражение $(y-2)^2 + 4$:

1. Слагаемое $(y-2)^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(y-2)^2 \ge 0$ при любом значении $y$.

2. Наименьшее значение, которое может принять $(y-2)^2$, равно 0. Это происходит, когда $y=2$.

3. Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(y-2)^2 + 4$ равно $0 + 4 = 4$.

Поскольку наименьшее значение выражения равно 4, а 4 является положительным числом, то и само выражение $(y-3)(y-1)+5$ всегда положительно при любом значении $y$.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы доказать, что выражение $(y-4)(y-6)+3$ положительно при любом значении $y$, выполним аналогичные преобразования.

Сначала раскроем скобки:

$(y-4)(y-6)+3 = y \cdot y - y \cdot 6 - 4 \cdot y + (-4) \cdot (-6) + 3 = y^2 - 6y - 4y + 24 + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 10y + 27$

Выделим полный квадрат из полученного квадратного трехчлена. В данном случае $a=y$, $2ab = 10y$, откуда $b=5$. Необходимое слагаемое $b^2=5^2=25$. Добавим и вычтем 25:

$y^2 - 10y + 27 = (y^2 - 10y + 25) - 25 + 27 = (y-5)^2 + 2$

Проанализируем полученное выражение $(y-5)^2 + 2$:

1. Слагаемое $(y-5)^2$ является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно: $(y-5)^2 \ge 0$ при любом значении $y$.

2. Наименьшее значение, которое может принять $(y-5)^2$, равно 0 (при $y=5$).

3. Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(y-5)^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.

Поскольку наименьшее значение выражения равно 2, а 2 > 0, то выражение $(y-4)(y-6)+3$ всегда положительно при любом значении $y$.

Ответ: Доказано.