Номер 740, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 740, страница 267.

Условие.

740. Решить уравнение:

1) $3x^2 + 8x + 5 = 0;$

2) $5x^2 + 4x - 12 = 0;$

3) $\frac{6}{4x^2 - 1} - \frac{x}{2x - 1} = \frac{5}{2x + 1};$

4) $\frac{5}{x - 1} + \frac{3x - 3}{2x + 2} = \frac{2x^2 + 8}{x^2 - 1};$

5) $\frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{7 + 18x}{x^3 - 1};$

6) $\frac{2}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2x - 1}{x^3 + 1}.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $3x^2+8x+5=0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.
Коэффициенты: $a=3, b=8, c=5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 2}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
Ответ: $-1; -\frac{5}{3}$.

2) $5x^2+4x-12=0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.
Коэффициенты: $a=5, b=4, c=-12$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1.2$.
$x_2 = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$.
Ответ: $1.2; -2$.

3) $\frac{6}{4x^2-1} - \frac{x}{2x-1} = \frac{5}{2x+1}$
Разложим знаменатель $4x^2-1$ на множители: $4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $(2x-1)(2x+1) \neq 0$, что означает $x \neq \frac{1}{2}$ и $x \neq -\frac{1}{2}$.
Приведем уравнение к общему знаменателю $(2x-1)(2x+1)$:
$\frac{6}{(2x-1)(2x+1)} - \frac{x(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{5(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$6 - x(2x+1) = 5(2x-1)$.
Раскроем скобки: $6 - 2x^2 - x = 10x - 5$.
Перенесем все члены в одну сторону: $2x^2 + 11x - 11 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. $D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 121 + 88 = 209$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{209}}{4}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{-11 + \sqrt{209}}{4}; \frac{-11 - \sqrt{209}}{4}$.

4) $\frac{5}{x-1} + \frac{3x-3}{2x+2} = \frac{2x^2+8}{x^2-1}$
Разложим знаменатели на множители: $2x+2 = 2(x+1)$, $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Уравнение принимает вид: $\frac{5}{x-1} + \frac{3(x-1)}{2(x+1)} = \frac{2x^2+8}{(x-1)(x+1)}$.
Общий знаменатель: $2(x-1)(x+1)$. Умножим на него обе части уравнения:
$5 \cdot 2(x+1) + 3(x-1)(x-1) = 2(2x^2+8)$.
$10(x+1) + 3(x-1)^2 = 4x^2 + 16$.
$10x + 10 + 3(x^2 - 2x + 1) = 4x^2 + 16$.
$10x + 10 + 3x^2 - 6x + 3 = 4x^2 + 16$.
$3x^2 + 4x + 13 = 4x^2 + 16$.
Перенесем все члены вправо: $x^2 - 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1=1, x_2=3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x=1$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ.
Ответ: $3$.

5) $\frac{30}{x^2-1} - \frac{13}{x^2+x+1} = \frac{7+18x}{x^3-1}$
Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов и разности кубов: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$.
ОДЗ: $x^2-1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$; $x^3-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Таким образом, $x \neq 1$ и $x \neq -1$. (Выражение $x^2+x+1$ всегда положительно).
Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)(x^2+x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$30(x^2+x+1) - 13(x-1)(x+1) = (7+18x)(x+1)$.
$30x^2 + 30x + 30 - 13(x^2-1) = 7x + 7 + 18x^2 + 18x$.
$30x^2 + 30x + 30 - 13x^2 + 13 = 18x^2 + 25x + 7$.
$17x^2 + 30x + 43 = 18x^2 + 25x + 7$.
Перенесем все члены вправо: $x^2 - 5x - 36 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1=9, x_2=-4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $9; -4$.

6) $\frac{2}{x^2-x+1} = \frac{1}{x+1} + \frac{2x-1}{x^3+1}$
Разложим знаменатель, используя формулу суммы кубов: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$.
ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. (Выражение $x^2-x+1$ всегда положительно).
Общий знаменатель: $(x+1)(x^2-x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$2(x+1) = 1(x^2-x+1) + (2x-1)$.
$2x + 2 = x^2 - x + 1 + 2x - 1$.
$2x + 2 = x^2 + x$.
Перенесем все члены вправо: $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1=2, x_2=-1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x=-1$ является посторонним.
Ответ: $2$.