Номер 736, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 736, страница 267.

Условие.

736. Упростить выражение:

1) $\frac{a+b}{a+2b} : \left( \frac{a}{a-2b} + \frac{b^2}{a^2-4b^2} \right);$

2) $\left( \frac{b}{b-c} - \frac{bc}{b^2-c^2} \right) : \frac{4b^2}{b^2-2bc+c^2};$

3) $\frac{b^2}{a^2-2ab} : \left( \frac{2ab}{a^2-4b^2} - \frac{b}{a+2b} \right);$

4) $\left( \frac{2ab}{a^2-9b^2} - \frac{b}{a-3b} \right) : \frac{b^2}{a^2+3ab}.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $ \frac{a+b}{a+2b} : \left( \frac{a}{a-2b} + \frac{b^2}{a^2-4b^2} \right) $
Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $ a^2-4b^2 $ раскладывается на множители по формуле разности квадратов: $ a^2-4b^2 = (a-2b)(a+2b) $. Это и будет общий знаменатель.
$ \frac{a}{a-2b} + \frac{b^2}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{a(a+2b)}{(a-2b)(a+2b)} + \frac{b^2}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{a^2+2ab+b^2}{(a-2b)(a+2b)} $.
В числителе получили полный квадрат суммы: $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $.
Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{(a+b)^2}{(a-2b)(a+2b)} $.
Теперь выполним деление:
$ \frac{a+b}{a+2b} : \frac{(a+b)^2}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{a+b}{a+2b} \cdot \frac{(a-2b)(a+2b)}{(a+b)^2} $.
Сократим общие множители $ (a+b) $ и $ (a+2b) $:
$ \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{a+2b}} \cdot \frac{(a-2b)\cancel{(a+2b)}}{(a+b)^{\cancel{2}}} = \frac{a-2b}{a+b} $.
Ответ: $ \frac{a-2b}{a+b} $.

2) $ \left( \frac{b}{b-c} - \frac{bc}{b^2-c^2} \right) : \frac{4b^2}{b^2-2bc+c^2} $
Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $ b^2-c^2 = (b-c)(b+c) $.
$ \frac{b}{b-c} - \frac{bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{b(b+c)}{(b-c)(b+c)} - \frac{bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{b^2+bc-bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{b^2}{(b-c)(b+c)} $.
Теперь преобразуем делитель. Знаменатель $ b^2-2bc+c^2 $ является полным квадратом разности: $ (b-c)^2 $.
Делитель равен $ \frac{4b^2}{(b-c)^2} $.
Выполним деление:
$ \frac{b^2}{(b-c)(b+c)} : \frac{4b^2}{(b-c)^2} = \frac{b^2}{(b-c)(b+c)} \cdot \frac{(b-c)^2}{4b^2} $.
Сократим общие множители $ b^2 $ и $ (b-c) $:
$ \frac{\cancel{b^2}}{\cancel{(b-c)}(b+c)} \cdot \frac{(b-c)^{\cancel{2}}}{4\cancel{b^2}} = \frac{b-c}{4(b+c)} $.
Ответ: $ \frac{b-c}{4(b+c)} $.

3) $ \frac{b^2}{a^2-2ab} : \left( \frac{2ab}{a^2-4b^2} - \frac{b}{a+2b} \right) $
Сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $ a^2-4b^2 = (a-2b)(a+2b) $.
$ \frac{2ab}{(a-2b)(a+2b)} - \frac{b(a-2b)}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{2ab - (ab-2b^2)}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{2ab-ab+2b^2}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{ab+2b^2}{(a-2b)(a+2b)} $.
Вынесем в числителе общий множитель $ b $: $ \frac{b(a+2b)}{(a-2b)(a+2b)} $. Сократив $ (a+2b) $, получим $ \frac{b}{a-2b} $.
Теперь преобразуем делимое. В знаменателе $ a^2-2ab $ вынесем общий множитель $ a $: $ a(a-2b) $. Делимое равно $ \frac{b^2}{a(a-2b)} $.
Выполним деление:
$ \frac{b^2}{a(a-2b)} : \frac{b}{a-2b} = \frac{b^2}{a(a-2b)} \cdot \frac{a-2b}{b} $.
Сократим общие множители $ b $ и $ (a-2b) $:
$ \frac{b^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a-2b)}} \cdot \frac{\cancel{a-2b}}{\cancel{b}} = \frac{b}{a} $.
Ответ: $ \frac{b}{a} $.

4) $ \left( \frac{2ab}{a^2-9b^2} - \frac{b}{a-3b} \right) : \frac{b^2}{a^2+3ab} $
Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $ a^2-9b^2 = (a-3b)(a+3b) $.
$ \frac{2ab}{(a-3b)(a+3b)} - \frac{b(a+3b)}{(a-3b)(a+3b)} = \frac{2ab - (ab+3b^2)}{(a-3b)(a+3b)} = \frac{2ab-ab-3b^2}{(a-3b)(a+3b)} = \frac{ab-3b^2}{(a-3b)(a+3b)} $.
Вынесем в числителе общий множитель $ b $: $ \frac{b(a-3b)}{(a-3b)(a+3b)} $. Сократив $ (a-3b) $, получим $ \frac{b}{a+3b} $.
Теперь преобразуем делитель. В знаменателе $ a^2+3ab $ вынесем общий множитель $ a $: $ a(a+3b) $. Делитель равен $ \frac{b^2}{a(a+3b)} $.
Выполним деление:
$ \frac{b}{a+3b} : \frac{b^2}{a(a+3b)} = \frac{b}{a+3b} \cdot \frac{a(a+3b)}{b^2} $.
Сократим общие множители $ b $ и $ (a+3b) $:
$ \frac{\cancel{b}}{\cancel{a+3b}} \cdot \frac{a\cancel{(a+3b)}}{b^{\cancel{2}}} = \frac{a}{b} $.
Ответ: $ \frac{a}{b} $.