Номер 732, страница 266 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 732, страница 266.

Условие.

732. Решить неравенство:

1) $|2x+3| \le 7;$

2) $|5-3x| > 4.$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дано неравенство $|2x+3| \le 7$.
Неравенство с модулем вида $|A| \le B$ (где $B \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.
Применим это правило:

$-7 \le 2x+3 \le 7$

Для решения этого двойного неравенства необходимо "изолировать" переменную $x$ в центре. Сначала вычтем $3$ из всех трех частей неравенства:

$-7 - 3 \le 2x + 3 - 3 \le 7 - 3$

$-10 \le 2x \le 4$

Теперь разделим все части неравенства на $2$. Так как мы делим на положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-10}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{4}{2}$

$-5 \le x \le 2$

Это означает, что решением являются все числа $x$ из промежутка от $-5$ до $2$, включая концы.

Ответ: $x \in [-5; 2]$.

2)

Дано неравенство $|5-3x| > 4$.
Неравенство с модулем вида $|A| > B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.
Применим это правило:

$5-3x > 4$ или $5-3x < -4$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$5-3x > 4$
Перенесем $5$ в правую часть, изменив знак:
$-3x > 4 - 5$
$-3x > -1$
Разделим обе части на $-3$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-1}{-3}$
$x < \frac{1}{3}$

Второе неравенство:
$5-3x < -4$
Перенесем $5$ в правую часть:
$-3x < -4 - 5$
$-3x < -9$
Снова разделим обе части на $-3$ и поменяем знак неравенства:
$x > \frac{-9}{-3}$
$x > 3$

Решением исходного неравенства является объединение решений двух полученных неравенств.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (3; +\infty)$.