Номер 726, страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 726, страница 265.

Условие.

726. Доказать, что на нагревание не менее 2 кг воды в латунном стакане массой не меньше 1 кг от 20 до 70 ${}^{\circ}\text{C}$ потребуется не менее 438 кДж теплоты. Удельная теплоёмкость воды $4,19 \text{ кДж}/(\text{кг} \cdot {}^{\circ}\text{C})$, латуни $0,38 \text{ кДж}/(\text{кг} \cdot {}^{\circ}\text{C})$.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы доказать утверждение, необходимо рассчитать общее количество теплоты $Q_{общ}$, которое требуется для нагревания системы, состоящей из воды и латунного стакана. Это количество теплоты является суммой теплоты, необходимой для нагревания воды ($Q_{воды}$), и теплоты, необходимой для нагревания стакана ($Q_{латуни}$).

Формула для общего количества теплоты:
$Q_{общ} = Q_{воды} + Q_{латуни}$

Количество теплоты, необходимое для нагревания отдельного вещества, рассчитывается по формуле:
$Q = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) = c \cdot m \cdot \Delta t$,
где $c$ — удельная теплоёмкость вещества, $m$ — его масса, а $\Delta t = t_2 - t_1$ — изменение температуры.

Подставив эту формулу для воды и латуни, получаем выражение для общего количества теплоты:
$Q_{общ} = c_{воды} \cdot m_{воды} \cdot \Delta t + c_{латуни} \cdot m_{латуни} \cdot \Delta t$
Можно вынести общий множитель $\Delta t$ за скобки:
$Q_{общ} = (c_{воды} \cdot m_{воды} + c_{латуни} \cdot m_{латуни}) \cdot \Delta t$

Из условия задачи нам известны следующие данные:
Масса воды: $m_{воды} \ge 2$ кг.
Масса латунного стакана: $m_{латуни} \ge 1$ кг.
Начальная температура: $t_1 = 20$ °C.
Конечная температура: $t_2 = 70$ °C.
Удельная теплоёмкость воды: $c_{воды} = 4,19$ кДж/(кг·°C).
Удельная теплоёмкость латуни: $c_{латуни} = 0,38$ кДж/(кг·°C).

Первым шагом рассчитаем изменение температуры $\Delta t$:
$\Delta t = t_2 - t_1 = 70 \text{ °C} - 20 \text{ °C} = 50 \text{ °C}$.

В задаче требуется доказать, что на нагревание потребуется не менее 438 кДж теплоты. Количество теплоты $Q_{общ}$ является функцией от массы воды $m_{воды}$ и массы латуни $m_{латуни}$. Так как все остальные величины ($c_{воды}$, $c_{латуни}$, $\Delta t$) положительны, $Q_{общ}$ увеличивается с увеличением $m_{воды}$ или $m_{латуни}$. Следовательно, минимальное количество теплоты $Q_{min}$ потребуется при минимально возможных массах.

Рассчитаем это минимальное количество теплоты, используя минимальные значения масс, указанные в условии: $m_{воды, min} = 2$ кг и $m_{латуни, min} = 1$ кг.
$Q_{min} = (c_{воды} \cdot m_{воды, min} + c_{латуни} \cdot m_{латуни, min}) \cdot \Delta t$
Подставим числовые значения:
$Q_{min} = (4,19 \cdot 2 + 0,38 \cdot 1) \cdot 50$
$Q_{min} = (8,38 + 0,38) \cdot 50$
$Q_{min} = 8,76 \cdot 50$
$Q_{min} = 438 \text{ кДж}$

Таким образом, мы вычислили, что минимально возможное количество теплоты, необходимое для нагревания 2 кг воды в латунном стакане массой 1 кг от 20 °C до 70 °C, составляет 438 кДж. Поскольку масса воды и масса стакана по условию не могут быть меньше этих значений ($m_{воды} \ge 2$ кг, $m_{латуни} \ge 1$ кг), то и общее количество требуемой теплоты всегда будет больше или равно 438 кДж. Это доказывает исходное утверждение.

Ответ: Минимальное количество теплоты, необходимое для нагревания, соответствует минимальным массам воды (2 кг) и латунного стакана (1 кг). Расчет показывает, что это количество равно $(4,19 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг} + 0,38 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1 \text{ кг}) \cdot (70 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) = 438 \text{ кДж}$. Так как при увеличении массы требуемое количество теплоты также увеличивается, то для любых масс, не меньших указанных, потребуется не менее 438 кДж теплоты, что и требовалось доказать.