Страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

721. Доказать, что:

1) если $(y-3)^2 > (3+y)(y-3)$, то $y<3$;

2) если $(3a+b)^2 < (3a-b)^2$, то $ab<0$.

1) Начнем с исходного неравенства $(y-3)^2 > (3+y)(y-3)$ и преобразуем его. Перенесем все члены в левую часть:

$(y-3)^2 - (3+y)(y-3) > 0$

Вынесем общий множитель $(y-3)$ за скобки:

$(y-3) \cdot [(y-3) - (3+y)] > 0$

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки:

$(y-3) \cdot (y - 3 - 3 - y) > 0$

$(y-3) \cdot (-6) > 0$

Разделим обе части неравенства на $-6$. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$y-3 < 0$

Перенесем $-3$ в правую часть, чтобы выделить $y$:

$y < 3$

Таким образом, мы доказали, что из первоначального неравенства следует $y < 3$.

Ответ: доказано.

2) Рассмотрим исходное неравенство $(3a+b)^2 < (3a-b)^2$. Перенесем все члены в левую часть:

$(3a+b)^2 - (3a-b)^2 < 0$

Левая часть представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$[(3a+b) - (3a-b)] \cdot [(3a+b) + (3a-b)] < 0$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(3a+b-3a+b) \cdot (3a+b+3a-b) < 0$

$(2b) \cdot (6a) < 0$

$12ab < 0$

Разделим обе части неравенства на 12. Так как 12 является положительным числом, знак неравенства не изменится:

$ab < 0$

Таким образом, мы доказали, что из первоначального неравенства следует $ab < 0$.

Ответ: доказано.

722.Если $x < \frac{a+b}{2}$, $y < \frac{a+c}{2}$, $z < \frac{b+c}{2}$, то $x+y+z < a+b+c$. Доказать.

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами числовых неравенств. Нам даны три исходных неравенства:

$x < \frac{a+b}{2}$

$y < \frac{a+c}{2}$

$z < \frac{b+c}{2}$

Согласно одному из свойств неравенств, если почленно сложить верные неравенства одного знака, то в результате получится верное неравенство того же знака. Выполним сложение левых и правых частей всех трех неравенств:

$x + y + z < \frac{a+b}{2} + \frac{a+c}{2} + \frac{b+c}{2}$

Теперь необходимо упростить выражение, стоящее в правой части полученного неравенства. Так как все дроби имеют общий знаменатель, равный 2, мы можем сложить их числители:

$\frac{a+b}{2} + \frac{a+c}{2} + \frac{b+c}{2} = \frac{(a+b) + (a+c) + (b+c)}{2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a+b+a+c+b+c}{2} = \frac{2a+2b+2c}{2}$

Далее вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\frac{2(a+b+c)}{2}$

Сократив дробь на 2, получаем:

$a+b+c$

Таким образом, мы показали, что сумма правых частей исходных неравенств равна $a+b+c$. Подставив это упрощенное выражение обратно в неравенство, полученное после сложения, мы приходим к финальному результату:

$x+y+z < a+b+c$

Это и есть то, что требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $x+y+z < a+b+c$ доказано.

723. Высота прямоугольного параллелепипеда больше $15 \text{ см}$, ширина больше $2 \text{ см}$, а длина больше $0,3 \text{ м}$. Доказать, что его объём больше $0,9 \text{ дм}^3$.

Пусть высота, ширина и длина прямоугольного параллелепипеда равны $h$, $w$ и $l$ соответственно. Согласно условию задачи, мы имеем следующие неравенства:
Высота: $h > 15$ см
Ширина: $w > 2$ см
Длина: $l > 0,3$ м

Требуется доказать, что объем $V$ этого параллелепипеда больше $0,9$ дм³. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$.

Для проведения вычислений необходимо привести все размеры к единой единице измерения. Поскольку итоговый объем должен быть в кубических дециметрах (дм³), переведем все линейные размеры в дециметры (дм).
Используем следующие соотношения:
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Выполним перевод единиц для каждого измерения:
Высота: $h > 15 \text{ см} \Rightarrow h > \frac{15}{10} \text{ дм} \Rightarrow h > 1,5$ дм
Ширина: $w > 2 \text{ см} \Rightarrow w > \frac{2}{10} \text{ дм} \Rightarrow w > 0,2$ дм
Длина: $l > 0,3 \text{ м} \Rightarrow l > 0,3 \cdot 10 \text{ дм} \Rightarrow l > 3$ дм

Теперь, используя неравенства для длины, ширины и высоты, найдем нижнюю границу для объема. Так как все размеры являются положительными числами, мы можем перемножить левые и правые части неравенств:
$V = l \cdot w \cdot h > 3 \text{ дм} \cdot 0,2 \text{ дм} \cdot 1,5 \text{ дм}$

Вычислим значение в правой части:
$3 \cdot 0,2 \cdot 1,5 = 0,6 \cdot 1,5 = 0,9$

Таким образом, мы получаем, что объем параллелепипеда удовлетворяет неравенству:
$V > 0,9$ дм³
Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку высота больше $1,5$ дм, ширина больше $0,2$ дм, а длина больше $3$ дм, их произведение, равное объему, будет строго больше чем $1,5 \cdot 0,2 \cdot 3 = 0,9$ дм³.

724. Масштаб физической карты России в учебнике географии $1 : 20\,000\,000$. На карте расстояние:

1) от Москвы до Орла больше 2 см;

2) от Москвы до Рязани меньше 2 см.

Каковы эти расстояния в действительности?

Для решения этой задачи сначала определим, какому расстоянию на местности соответствует 1 см на карте.

Масштаб карты 1:20 000 000 означает, что 1 см на карте представляет 20 000 000 см в действительности.

Переведем сантиметры в километры. Мы знаем, что:

• в 1 метре — 100 см
• в 1 километре — 1000 метров

Следовательно, в 1 километре $1000 \times 100 = 100 000$ см.

Теперь найдем, скольким километрам соответствует 20 000 000 см:

$20 000 000 \text{ см} = \frac{20 000 000}{100 000} \text{ км} = 200 \text{ км}$

Это значит, что 1 см на карте соответствует 200 км на местности.

Теперь, зная это соотношение, мы можем оценить реальные расстояния.

1) от Москвы до Орла

Расстояние на карте от Москвы до Орла больше 2 см. Чтобы найти соответствующее реальное расстояние, умножим 2 см на значение масштаба в километрах:

$2 \text{ см (на карте)} \times 200 \frac{\text{км}}{\text{см}} = 400 \text{ км (в действительности)}$

Поскольку расстояние на карте больше 2 см, то и реальное расстояние будет больше 400 км.

Ответ: расстояние от Москвы до Орла в действительности больше 400 км.

2) от Москвы до Рязани

Расстояние на карте от Москвы до Рязани меньше 2 см. Проведем аналогичные вычисления:

$2 \text{ см (на карте)} \times 200 \frac{\text{км}}{\text{см}} = 400 \text{ км (в действительности)}$

Поскольку расстояние на карте меньше 2 см, то и реальное расстояние будет меньше 400 км.

Ответ: расстояние от Москвы до Рязани в действительности меньше 400 км.

725. Груз массой не более 1,6 кг подняли на высоту 8-го этажа (не большую 25 м). Какую при этом совершили работу?

Для решения задачи о подъеме груза используется формула механической работы $A$, которая равна произведению силы $F$ на пройденный путь $h$ (в данном случае — высоту подъема):

$A = F \cdot h$

Сила $F$, необходимая для равномерного подъема груза, равна по модулю силе тяжести $P$, действующей на него. Сила тяжести вычисляется по формуле:

$P = m \cdot g$

где $m$ — это масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения. Примем стандартное значение $g \approx 9,8 \text{ Н/кг}$.

Объединив две формулы, получаем формулу для расчета работы при подъеме груза:

$A = m \cdot g \cdot h$

В условии задачи даны максимальные значения для массы и высоты: масса $m$ не более $1,6$ кг ($m \le 1,6 \text{ кг}$), а высота $h$ не большая $25$ м ($h \le 25 \text{ м}$). Следовательно, мы можем рассчитать максимальную возможную работу $A_{max}$, которая была совершена. Для этого используем максимальные значения $m$ и $h$.

Подставим данные в формулу:

$A_{max} = 1,6 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ Н/кг} \cdot 25 \text{ м}$

Выполним вычисления:

$A_{max} = (1,6 \cdot 25) \cdot 9,8 = 40 \cdot 9,8 = 392 \text{ Дж}$

Таким образом, совершенная работа не превышает этого значения, то есть $A \le 392 \text{ Дж}$.

Ответ: Совершенная работа не более 392 Дж.

726. Доказать, что на нагревание не менее 2 кг воды в латунном стакане массой не меньше 1 кг от 20 до 70 ${}^{\circ}\text{C}$ потребуется не менее 438 кДж теплоты. Удельная теплоёмкость воды $4,19 \text{ кДж}/(\text{кг} \cdot {}^{\circ}\text{C})$, латуни $0,38 \text{ кДж}/(\text{кг} \cdot {}^{\circ}\text{C})$.

Для того чтобы доказать утверждение, необходимо рассчитать общее количество теплоты $Q_{общ}$, которое требуется для нагревания системы, состоящей из воды и латунного стакана. Это количество теплоты является суммой теплоты, необходимой для нагревания воды ($Q_{воды}$), и теплоты, необходимой для нагревания стакана ($Q_{латуни}$).

Формула для общего количества теплоты:
$Q_{общ} = Q_{воды} + Q_{латуни}$

Количество теплоты, необходимое для нагревания отдельного вещества, рассчитывается по формуле:
$Q = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) = c \cdot m \cdot \Delta t$,
где $c$ — удельная теплоёмкость вещества, $m$ — его масса, а $\Delta t = t_2 - t_1$ — изменение температуры.

Подставив эту формулу для воды и латуни, получаем выражение для общего количества теплоты:
$Q_{общ} = c_{воды} \cdot m_{воды} \cdot \Delta t + c_{латуни} \cdot m_{латуни} \cdot \Delta t$
Можно вынести общий множитель $\Delta t$ за скобки:
$Q_{общ} = (c_{воды} \cdot m_{воды} + c_{латуни} \cdot m_{латуни}) \cdot \Delta t$

Из условия задачи нам известны следующие данные:
Масса воды: $m_{воды} \ge 2$ кг.
Масса латунного стакана: $m_{латуни} \ge 1$ кг.
Начальная температура: $t_1 = 20$ °C.
Конечная температура: $t_2 = 70$ °C.
Удельная теплоёмкость воды: $c_{воды} = 4,19$ кДж/(кг·°C).
Удельная теплоёмкость латуни: $c_{латуни} = 0,38$ кДж/(кг·°C).

Первым шагом рассчитаем изменение температуры $\Delta t$:
$\Delta t = t_2 - t_1 = 70 \text{ °C} - 20 \text{ °C} = 50 \text{ °C}$.

В задаче требуется доказать, что на нагревание потребуется не менее 438 кДж теплоты. Количество теплоты $Q_{общ}$ является функцией от массы воды $m_{воды}$ и массы латуни $m_{латуни}$. Так как все остальные величины ($c_{воды}$, $c_{латуни}$, $\Delta t$) положительны, $Q_{общ}$ увеличивается с увеличением $m_{воды}$ или $m_{латуни}$. Следовательно, минимальное количество теплоты $Q_{min}$ потребуется при минимально возможных массах.

Рассчитаем это минимальное количество теплоты, используя минимальные значения масс, указанные в условии: $m_{воды, min} = 2$ кг и $m_{латуни, min} = 1$ кг.
$Q_{min} = (c_{воды} \cdot m_{воды, min} + c_{латуни} \cdot m_{латуни, min}) \cdot \Delta t$
Подставим числовые значения:
$Q_{min} = (4,19 \cdot 2 + 0,38 \cdot 1) \cdot 50$
$Q_{min} = (8,38 + 0,38) \cdot 50$
$Q_{min} = 8,76 \cdot 50$
$Q_{min} = 438 \text{ кДж}$

Таким образом, мы вычислили, что минимально возможное количество теплоты, необходимое для нагревания 2 кг воды в латунном стакане массой 1 кг от 20 °C до 70 °C, составляет 438 кДж. Поскольку масса воды и масса стакана по условию не могут быть меньше этих значений ($m_{воды} \ge 2$ кг, $m_{латуни} \ge 1$ кг), то и общее количество требуемой теплоты всегда будет больше или равно 438 кДж. Это доказывает исходное утверждение.

Ответ: Минимальное количество теплоты, необходимое для нагревания, соответствует минимальным массам воды (2 кг) и латунного стакана (1 кг). Расчет показывает, что это количество равно $(4,19 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг} + 0,38 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1 \text{ кг}) \cdot (70 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) = 438 \text{ кДж}$. Так как при увеличении массы требуемое количество теплоты также увеличивается, то для любых масс, не меньших указанных, потребуется не менее 438 кДж теплоты, что и требовалось доказать.

727. Доказать, что при любых $a$ и $b$ выполняется неравенство

$a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 \ge 0.$

Требуется доказать, что неравенство $a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 \ge 0$ выполняется для любых значений $a$ и $b$.

Для этого преобразуем левую часть неравенства, сгруппировав слагаемые, содержащие $a$, и слагаемые, содержащие $b$:

$a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 = (a^2 - 2a) + (4b^2 - 12b) + 10$

Выделим полные квадраты для каждого выражения в скобках.

Для выражения с переменной $a$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$a^2 - 2a = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $1^2 = 1$:
$a^2 - 2a + 1 - 1 = (a-1)^2 - 1$

Для выражения с переменной $b$ поступим аналогично.
$4b^2 - 12b = (2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $3^2 = 9$:
$(2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot 3 + 9 - 9 = (2b-3)^2 - 9$

Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного неравенства:
$((a-1)^2 - 1) + ((2b-3)^2 - 9) + 10$

Упростим это выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$(a-1)^2 - 1 + (2b-3)^2 - 9 + 10 = (a-1)^2 + (2b-3)^2 - 10 + 10 = (a-1)^2 + (2b-3)^2$

Таким образом, исходное неравенство $a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 \ge 0$ эквивалентно неравенству:
$(a-1)^2 + (2b-3)^2 \ge 0$

Полученное неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как:
1. $(a-1)^2$ — это квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(a-1)^2 \ge 0$.
2. $(2b-3)^2$ — это также квадрат действительного числа, и его значение также всегда неотрицательно: $(2b-3)^2 \ge 0$.
3. Сумма двух неотрицательных чисел всегда является неотрицательным числом.

Следовательно, $(a-1)^2 + (2b-3)^2 \ge 0$ при любых $a$ и $b$, а значит и исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 \ge 0$ доказано, так как оно эквивалентно верному неравенству $(a-1)^2 + (2b-3)^2 \ge 0$.

728. Решить систему неравенств:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 5x - 4 \ge x - 3, \\ -2x + 11 > x + 1, \\ 12 - 3x > 4 - 5x; \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $5x - 4 \ge x - 3$
$5x - x \ge 4 - 3$
$4x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{4}$

2) $-2x + 11 > x + 1$
$11 - 1 > x + 2x$
$10 > 3x$
$x < \frac{10}{3}$

3) $12 - 3x > 4 - 5x$
$5x - 3x > 4 - 12$
$2x > -8$
$x > -4$

Найдем пересечение полученных решений: $x \ge \frac{1}{4}$, $x < \frac{10}{3}$ и $x > -4$. На числовой оси это соответствует интервалу, который больше $-4$, больше или равен $\frac{1}{4}$ и меньше $\frac{10}{3}$.
Общим решением является интервал $ \frac{1}{4} \le x < \frac{10}{3} $.

Ответ: $x \in [\frac{1}{4}; \frac{10}{3})$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x \le 5 - 6x, \\ -3x + 1 \le 4x - 1, \\ 7 - 2x > 2x + 9; \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $3x \le 5 - 6x$
$3x + 6x \le 5$
$9x \le 5$
$x \le \frac{5}{9}$

2) $-3x + 1 \le 4x - 1$
$1 + 1 \le 4x + 3x$
$2 \le 7x$
$x \ge \frac{2}{7}$

3) $7 - 2x > 2x + 9$
$7 - 9 > 2x + 2x$
$-2 > 4x$
$x < -\frac{2}{4}$
$x < -\frac{1}{2}$

Найдем пересечение полученных решений: $x \le \frac{5}{9}$, $x \ge \frac{2}{7}$ и $x < -\frac{1}{2}$.
Условия $x \ge \frac{2}{7}$ (x больше положительного числа) и $x < -\frac{1}{2}$ (x меньше отрицательного числа) являются взаимоисключающими. Не существует числа, которое одновременно удовлетворяло бы этим двум условиям.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x - 2 > 2(x - 3) + 5x, \\ 2x^2 + (5 + x)^2 > 3(x - 5)(x + 5); \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $3x - 2 > 2(x - 3) + 5x$
$3x - 2 > 2x - 6 + 5x$
$3x - 2 > 7x - 6$
$6 - 2 > 7x - 3x$
$4 > 4x$
$1 > x$ или $x < 1$

2) $2x^2 + (5 + x)^2 > 3(x - 5)(x + 5)$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$2x^2 + (25 + 10x + x^2) > 3(x^2 - 25)$
$3x^2 + 10x + 25 > 3x^2 - 75$
$10x + 25 > -75$
$10x > -75 - 25$
$10x > -100$
$x > -10$

Найдем пересечение решений $x < 1$ и $x > -10$.

Ответ: $x \in (-10; 1)$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 8x(x + 2)(x - 2) < (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 5x, \\ (\frac{1}{4}x + 2)(2 - \frac{1}{4}x) - (3 - \frac{1}{4}x)(\frac{1}{4}x + 2) > -3; \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $8x(x + 2)(x - 2) < (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 5x$
Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для левой части и формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ для правой части:
$8x(x^2 - 4) < (2x)^3 - 3^3 - 5x$
$8x^3 - 32x < 8x^3 - 27 - 5x$
$-32x < -27 - 5x$
$-32x + 5x < -27$
$-27x < -27$
$x > 1$ (знак неравенства меняется, так как делим на отрицательное число).

2) $(\frac{1}{4}x + 2)(2 - \frac{1}{4}x) - (3 - \frac{1}{4}x)(\frac{1}{4}x + 2) > -3$
Вынесем общий множитель $(\frac{1}{4}x + 2)$ за скобки:
$(\frac{1}{4}x + 2) \left( (2 - \frac{1}{4}x) - (3 - \frac{1}{4}x) \right) > -3$
$(\frac{1}{4}x + 2) (2 - \frac{1}{4}x - 3 + \frac{1}{4}x) > -3$
$(\frac{1}{4}x + 2) (-1) > -3$
$-\frac{1}{4}x - 2 > -3$
$-\frac{1}{4}x > -1$
$x < 4$ (знак неравенства меняется при умножении на -4).

Найдем пересечение решений $x > 1$ и $x < 4$.

Ответ: $x \in (1; 4)$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2(x - \frac{1}{2})(x + 3) > 2x(x + 3), \\ \frac{x + 3}{3} > \frac{3x + 4}{2}; \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $2(x - \frac{1}{2})(x + 3) > 2x(x + 3)$
Умножим 2 на первую скобку:
$(2x - 1)(x + 3) > 2x(x + 3)$
Перенесем все члены в левую часть:
$(2x - 1)(x + 3) - 2x(x + 3) > 0$
Вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:
$(x + 3) ((2x - 1) - 2x) > 0$
$(x + 3)(-1) > 0$
$-(x + 3) > 0$
$x + 3 < 0$
$x < -3$

2) $\frac{x + 3}{3} > \frac{3x + 4}{2}$
Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей), чтобы избавиться от дробей:
$2(x + 3) > 3(3x + 4)$
$2x + 6 > 9x + 12$
$6 - 12 > 9x - 2x$
$-6 > 7x$
$x < -\frac{6}{7}$

Найдем пересечение решений $x < -3$ и $x < -\frac{6}{7}$. Поскольку $-3 < -\frac{6}{7}$, пересечением является $x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} (3x + \frac{1}{2})(2 - x) + \frac{1}{2}(x + 1) > 3(3 - x)(3 + x) - 1, \\ 2 - (2x + 3)^2 + (3 + 2x)(2x - 3) < -2\frac{1}{3}(9 + x) + \frac{1}{3}; \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $(3x + \frac{1}{2})(2 - x) + \frac{1}{2}(x + 1) > 3(3 - x)(3 + x) - 1$
Раскроем скобки:
$6x - 3x^2 + 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} > 3(9 - x^2) - 1$
$-3x^2 + 6x + \frac{3}{2} > 27 - 3x^2 - 1$
$-3x^2 + 6x + \frac{3}{2} > 26 - 3x^2$
$6x + \frac{3}{2} > 26$
$6x > 26 - \frac{3}{2}$
$6x > \frac{52}{2} - \frac{3}{2}$
$6x > \frac{49}{2}$
$x > \frac{49}{12}$

2) $2 - (2x + 3)^2 + (3 + 2x)(2x - 3) < -2\frac{1}{3}(9 + x) + \frac{1}{3}$
Упростим левую часть, используя формулы квадрата суммы и разности квадратов. Переведем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$.
$2 - (4x^2 + 12x + 9) + (4x^2 - 9) < -\frac{7}{3}(9 + x) + \frac{1}{3}$
$2 - 4x^2 - 12x - 9 + 4x^2 - 9 < -21 - \frac{7}{3}x + \frac{1}{3}$
$-12x - 16 < -21 - \frac{7}{3}x + \frac{1}{3}$
Умножим обе части на 3:
$-36x - 48 < -63 - 7x + 1$
$-36x - 48 < -62 - 7x$
$-36x + 7x < -62 + 48$
$-29x < -14$
$x > \frac{14}{29}$ (знак неравенства меняется).

Найдем пересечение решений $x > \frac{49}{12}$ и $x > \frac{14}{29}$.
Сравним дроби: $\frac{49}{12} = 4\frac{1}{12}$ и $\frac{14}{29} \approx 0.48$.
Так как $\frac{49}{12} > \frac{14}{29}$, то пересечением является $x > \frac{49}{12}$.

Ответ: $x \in (\frac{49}{12}; +\infty)$.