Страница 264 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

714. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению реки за то же время, которое ему понадобилось для прохождения 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде (например, в озере).

По условию, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Тогда скорость катера, когда он движется по течению реки, равна сумме собственной скорости и скорости течения: $(x + 3)$ км/ч.

Скорость катера, когда он движется против течения реки, равна разности собственной скорости и скорости течения: $(x - 3)$ км/ч. Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — это скорость.

Время, затраченное катером на путь в 12 км против течения, составляет $t_1 = \frac{12}{x - 3}$ часа.

Время, затраченное катером на путь в 5 км по течению, составляет $t_2 = \frac{5}{x + 3}$ часа.

Общее время, которое катер плыл по реке, равно сумме $t_1$ и $t_2$: $t_{река} = \frac{12}{x - 3} + \frac{5}{x + 3}$ часа.

Время, которое катер затратил на прохождение 18 км по озеру (где он движется с собственной скоростью), составляет $t_{озеро} = \frac{18}{x}$ часа.

По условию задачи, время движения по реке равно времени движения по озеру, то есть $t_{река} = t_{озеро}$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{12}{x - 3} + \frac{5}{x + 3} = \frac{18}{x}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$:

$\frac{12(x + 3) + 5(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{18}{x}$

$\frac{12x + 36 + 5x - 15}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$

$\frac{17x + 21}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $x \neq 0$, $x \neq 3$ и $x \neq -3$:

$x(17x + 21) = 18(x^2 - 9)$

Раскроем скобки:

$17x^2 + 21x = 18x^2 - 162$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$18x^2 - 17x^2 - 21x - 162 = 0$

$x^2 - 21x - 162 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-21) + 33}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27$

$x_2 = \frac{-(-21) - 33}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Корень $x_2 = -6$ не является решением задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Кроме того, он не удовлетворяет нашему первоначальному условию $x > 3$.

Корень $x_1 = 27$ удовлетворяет условию $x > 3$, следовательно, это и есть искомая собственная скорость катера.

Выполним проверку:

Время движения по реке: $\frac{12}{27 - 3} + \frac{5}{27 + 3} = \frac{12}{24} + \frac{5}{30} = 0.5 + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ часа.

Время движения по озеру: $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$ часа.

Времена равны, значит, задача решена верно.

Ответ: собственная скорость катера равна 27 км/ч.

715. Построить графики функций и найти координаты точек их пересечения:

1) $y = 2x$ и $y = 3$;

2) $y = x - 1$ и $y = 0$;

3) $y = 3x$ и $y = -2x + 1$;

4) $y = 2x - 1$ и $y = -x + 3$;

5) $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$;

6) $y = \frac{1}{x}$ и $y = x^3$.

1) y=2x и y=3

Для построения графиков этих функций определим их тип.

$y=2x$ — это линейная функция, её график — прямая, проходящая через начало координат (0;0). Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем вторую точку, например, при $x=1$, получим $y=2 \cdot 1 = 2$. Таким образом, прямая проходит через точки (0;0) и (1;2).

$y=3$ — это также линейная функция, её график — прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0;3) на оси ординат (оси Oy).

Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему уравнений:
$\begin{cases} y = 2x \\ y = 3 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1.5$
Координата $y$ уже известна из второго уравнения: $y=3$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты (1.5; 3).

Ответ: (1.5; 3).

2) y=x-1 и y=0

$y=x-1$ — линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат.
При $x=0$, $y=0-1=-1$. Точка пересечения с осью Oy: (0; -1).
При $y=0$, $0=x-1$, откуда $x=1$. Точка пересечения с осью Ox: (1; 0).

$y=0$ — это уравнение оси абсцисс (оси Ox).

Координаты точки пересечения — это решение системы:
$\begin{cases} y = x - 1 \\ y = 0 \end{cases}$
Подставим $y=0$ в первое уравнение:
$0 = x - 1$
$x = 1$
Координаты точки пересечения (1; 0). Это и есть точка пересечения прямой $y=x-1$ с осью Ox.

Ответ: (1; 0).

3) y=3x и y=-2x+1

Обе функции — линейные, их графики — прямые.

$y=3x$ — прямая, проходящая через начало координат (0;0) и, например, точку (1;3).

$y=-2x+1$ — прямая. Найдем две точки:
При $x=0$, $y=1$. Точка (0; 1).
При $y=0$, $0=-2x+1 \implies 2x=1 \implies x=0.5$. Точка (0.5; 0).

Чтобы найти точку пересечения, приравняем выражения для $y$:
$3x = -2x + 1$
$3x + 2x = 1$
$5x = 1$
$x = \frac{1}{5}$
Теперь найдем $y$, подставив $x$ в любое из уравнений, например, в первое:
$y = 3x = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

Координаты точки пересечения: ($\frac{1}{5}$; $\frac{3}{5}$).

Ответ: ($\frac{1}{5}$; $\frac{3}{5}$).

4) y=2x-1 и y=-x+3

Обе функции — линейные, графики — прямые.

$y=2x-1$. Точки для построения:
При $x=0$, $y=-1$. Точка (0; -1).
При $x=1$, $y=2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка (1; 1).

$y=-x+3$. Точки для построения:
При $x=0$, $y=3$. Точка (0; 3).
При $x=3$, $y=-3+3=0$. Точка (3; 0).

Найдем точку пересечения, решив систему:
$2x - 1 = -x + 3$
$2x + x = 3 + 1$
$3x = 4$
$x = \frac{4}{3}$
Подставим $x$ во второе уравнение:
$y = -x + 3 = -\frac{4}{3} + 3 = -\frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{5}{3}$

Координаты точки пересечения: ($\frac{4}{3}$; $\frac{5}{3}$).

Ответ: ($\frac{4}{3}$; $\frac{5}{3}$).

5) y=x² и y=√x

$y=x^2$ — квадратичная функция, её график — парабола. Ветви направлены вверх, вершина в точке (0;0). Проходит через точки (-1; 1), (1; 1), (-2; 4), (2; 4).

$y=\sqrt{x}$ — функция квадратного корня. График представляет собой ветвь параболы, симметричную графику $y=x^2$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. Функция определена при $x \ge 0$. Проходит через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2).

Для нахождения точек пересечения решим уравнение $x^2 = \sqrt{x}$. Заметим, что $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$), так как существует $\sqrt{x}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x^2)^2 = (\sqrt{x})^2$
$x^4 = x$
$x^4 - x = 0$
$x(x^3 - 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
1. $x = 0$
2. $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x=0$, $y = 0^2 = 0$. Точка (0; 0).
При $x=1$, $y = 1^2 = 1$. Точка (1; 1).

Графики пересекаются в двух точках.

Ответ: (0; 0) и (1; 1).

6) y=1/x и y=x³

$y = \frac{1}{x}$ — обратная пропорциональность, её график — гипербола. Состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами. Функция не определена при $x=0$.

$y=x^3$ — кубическая функция, её график — кубическая парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно него.

Найдем точки пересечения, приравняв правые части уравнений:
$\frac{1}{x} = x^3$
Область определения этого уравнения: $x \ne 0$.
Умножим обе части на $x$:
$1 = x^4$
Это уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x=1$, $y = 1^3 = 1$. Точка (1; 1).
При $x=-1$, $y = (-1)^3 = -1$. Точка (-1; -1).

Графики пересекаются в двух точках.

Ответ: (1; 1) и (-1; -1).

716. Дана функция $y=2,5x - 5$. Найти:

1) значение $x$, при котором значение функции равно нулю;

2) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

3) область определения и множество значений функции.

1) значение x, при котором значение функции равно нулю;

Дана функция $y = 2,5x - 5$.
Чтобы найти значение $x$, при котором значение функции равно нулю, необходимо приравнять $y$ к нулю и решить полученное линейное уравнение относительно $x$.
$y = 0$
$2,5x - 5 = 0$
Перенесем свободный член (-5) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2,5x = 5$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2,5:
$x = \frac{5}{2,5}$
$x = 2$
Таким образом, при $x = 2$ значение функции равно нулю.
Ответ: $x = 2$.

2) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

Для нахождения точек пересечения графика с осями координат нужно рассмотреть два случая.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):
В любой точке, лежащей на оси Ox, координата $y$ равна нулю. Поэтому для нахождения точки пересечения нужно в уравнение функции подставить $y = 0$.
$0 = 2,5x - 5$
Это уравнение мы уже решили в пункте 1. Его решение: $x = 2$.
Следовательно, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(2; 0)$.

Пересечение с осью ординат (осью Oy):
В любой точке, лежащей на оси Oy, координата $x$ равна нулю. Поэтому для нахождения точки пересечения нужно в уравнение функции подставить $x = 0$.
$y = 2,5 \cdot 0 - 5$
$y = 0 - 5$
$y = -5$
Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -5)$.
Ответ: Координаты точек пересечения с осями: с осью Ox — $(2; 0)$, с осью Oy — $(0; -5)$.

3) область определения и множество значений функции.

Данная функция $y = 2,5x - 5$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где $k = 2,5$ и $b = -5$.

Область определения (D(y)):
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для линейной функции выражение $kx + b$ определено для любого действительного числа $x$. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, здесь нет.
Поэтому область определения — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y): x \in \mathbb{R}$.

Множество значений (E(y)):
Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку угловой коэффициент $k = 2,5$ не равен нулю, функция не является постоянной. Это означает, что при изменении $x$ от $-\infty$ до $+\infty$, значение $y$ также будет пробегать все значения от $-\infty$ до $+\infty$.
Поэтому множество значений — это также множество всех действительных чисел.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y): y \in \mathbb{R}$.
Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

717. Дана функция $y=-3x+1$.

1) Вычислить: $y(0)$, $y(1)$, $y(-1)$, $y(-4)$.

2) Найти значения $x$, при которых $y(x)=1$, $y(x)=-1$, $y(x)=-3$.

3) Найти значения $x$, при которых $y(x)>0$, $y(x)<0$, $y(x)=0$.

4) Выяснить, функция возрастающая или убывающая.

1) Вычислить: y(0), y(1), y(-1), y(-4).

Для вычисления значений функции $y=-3x+1$ подставим в нее соответствующие значения аргумента $x$.

$y(0) = -3 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$

$y(1) = -3 \cdot 1 + 1 = -3 + 1 = -2$

$y(-1) = -3 \cdot (-1) + 1 = 3 + 1 = 4$

$y(-4) = -3 \cdot (-4) + 1 = 12 + 1 = 13$

Ответ: $y(0)=1$; $y(1)=-2$; $y(-1)=4$; $y(-4)=13$.

2) Найти значения x, при которых y(x)=1, y(x)=-1, y(x)=-3.

Для нахождения значений $x$, при которых функция принимает заданные значения, решим соответствующие уравнения.

При $y(x)=1$:

$-3x + 1 = 1$

$-3x = 1 - 1$

$-3x = 0$

$x = 0$

При $y(x)=-1$:

$-3x + 1 = -1$

$-3x = -1 - 1$

$-3x = -2$

$x = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$

При $y(x)=-3$:

$-3x + 1 = -3$

$-3x = -3 - 1$

$-3x = -4$

$x = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$

Ответ: при $x=0$, $y(x)=1$; при $x=\frac{2}{3}$, $y(x)=-1$; при $x=\frac{4}{3}$, $y(x)=-3$.

3) Найти значения x, при которых y(x)>0, y(x)<0, y(x)=0.

Сначала найдем значение $x$, при котором функция равна нулю (корень функции).

$y(x) = 0 \implies -3x + 1 = 0$

$-3x = -1$

$x = \frac{1}{3}$

Теперь решим неравенство $y(x) > 0$.

$-3x + 1 > 0$

$-3x > -1$

При делении на отрицательное число $(-3)$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{1}{3}$

Теперь решим неравенство $y(x) < 0$.

$-3x + 1 < 0$

$-3x < -1$

При делении на отрицательное число $(-3)$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{1}{3}$

Ответ: $y(x)=0$ при $x=\frac{1}{3}$; $y(x)>0$ при $x < \frac{1}{3}$; $y(x)<0$ при $x > \frac{1}{3}$.

4) Выяснить, функция возрастающая или убывающая.

Данная функция $y=-3x+1$ является линейной функцией вида $y=kx+b$.

Ее характер (возрастание или убывание) определяется знаком углового коэффициента $k$.

В данном случае, угловой коэффициент $k = -3$.

Так как $k < 0$, функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: функция убывающая.

718. Делая утреннюю зарядку, мальчик ежедневно пробегал от дома до леса $600\text{ м}$. До леса он бежал одну треть пути со скоростью $2\text{ м/с}$, а оставшееся расстояние — со скоростью $3\text{ м/с}$. Возвращаясь к дому, первую треть пути он пробегал со скоростью $3\text{ м/с}$, а оставшееся расстояние — со скоростью $2\text{ м/с}$. На какой пробег мальчик тратил времени больше: от дома до леса или от леса до дома?

Чтобы определить, на какой пробег мальчик тратил больше времени, нужно рассчитать и сравнить время, затраченное на каждый маршрут.

Время в пути от дома до леса

Общее расстояние составляет $S = 600$ м. Весь путь делится на два участка.

1. Первый участок составляет одну треть пути: $S_1 = \frac{1}{3} \times 600 = 200$ м. Мальчик пробежал его со скоростью $v_1 = 2$ м/с. Время, затраченное на этот участок:
$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{200 \text{ м}}{2 \text{ м/с}} = 100$ с.

2. Второй участок — это оставшееся расстояние: $S_2 = 600 - 200 = 400$ м. Скорость на этом участке была $v_2 = 3$ м/с. Время, затраченное на него:
$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{400 \text{ м}}{3 \text{ м/с}}$.

3. Общее время в пути от дома до леса ($T_{до\_леса}$) равно сумме времен на двух участках:
$T_{до\_леса} = t_1 + t_2 = 100 + \frac{400}{3} = \frac{300}{3} + \frac{400}{3} = \frac{700}{3}$ с.

Время в пути от леса до дома

Расстояние то же самое, $S = 600$ м, но скорости на участках другие.

1. Первый участок (первая треть пути): $S_3 = 200$ м. Скорость на нем $v_3 = 3$ м/с. Время на этом участке:
$t_3 = \frac{S_3}{v_3} = \frac{200 \text{ м}}{3 \text{ м/с}}$.

2. Второй участок (оставшееся расстояние): $S_4 = 400$ м. Скорость на нем $v_4 = 2$ м/с. Время на этом участке:
$t_4 = \frac{S_4}{v_4} = \frac{400 \text{ м}}{2 \text{ м/с}} = 200$ с.

3. Общее время в пути от леса до дома ($T_{до\_дома}$):
$T_{до\_дома} = t_3 + t_4 = \frac{200}{3} + 200 = \frac{200}{3} + \frac{600}{3} = \frac{800}{3}$ с.

Сравнение времени

Теперь сравним общее время, затраченное на каждый пробег:
Время от дома до леса: $T_{до\_леса} = \frac{700}{3}$ с $\approx 233,3$ с.
Время от леса до дома: $T_{до\_дома} = \frac{800}{3}$ с $\approx 266,7$ с.

Поскольку $\frac{800}{3} > \frac{700}{3}$, то $T_{до\_дома} > T_{до\_леса}$.

Логическое объяснение: время в пути обратно пропорционально скорости. Чем большее расстояние пробегается с меньшей скоростью, тем больше общее затраченное время. На пути домой мальчик бежал большее расстояние (400 м) с меньшей скоростью (2 м/с), поэтому этот пробег и занял больше времени.

Ответ: мальчик тратил больше времени на пробег от леса до дома.

719. На руднике за день добыли 2000 т руды, содержащей $\frac{17}{25}$ железа от общей массы руды. На соседнем руднике добыли за первую половину дня 1200 т руды, содержащей $\frac{3}{5}$ железа, а за вторую половину дня 1000 т руды, содержащей $\frac{5}{8}$ железа. На каком руднике добыли за день больше чистого железа?

Для решения задачи необходимо вычислить массу чистого железа, добытого на каждом руднике за день, а затем сравнить полученные значения.

1. Расчет массы чистого железа на первом руднике.

На первом руднике за день добыли 2000 т руды, в которой содержание железа составляет $\frac{17}{25}$ от общей массы. Чтобы найти массу чистого железа, нужно умножить общую массу руды на долю содержания железа.

$2000 \cdot \frac{17}{25} = \frac{2000 \cdot 17}{25} = 80 \cdot 17 = 1360$ т.

Таким образом, на первом руднике за день добыли 1360 т чистого железа.

2. Расчет массы чистого железа на втором руднике.

На втором руднике добыча велась в два этапа. Сначала найдем массу железа, добытую за первую половину дня, а затем — за вторую, после чего сложим эти значения.

Масса железа за первую половину дня:

$1200 \cdot \frac{3}{5} = \frac{1200 \cdot 3}{5} = 240 \cdot 3 = 720$ т.

Масса железа за вторую половину дня:

$1000 \cdot \frac{5}{8} = \frac{1000 \cdot 5}{8} = 125 \cdot 5 = 625$ т.

Общая масса чистого железа, добытого на втором руднике за день:

$720 + 625 = 1345$ т.

3. Сравнение результатов.

Теперь сравним массу чистого железа, добытого на обоих рудниках за день:

Первый рудник: $1360$ т.

Второй рудник: $1345$ т.

$1360 > 1345$

Следовательно, на первом руднике добыли больше чистого железа.

Ответ: На первом руднике за день добыли больше чистого железа.

720. На спортивных соревнованиях семиклассник пробежал дистанцию 60 м за 9 с, а десятиклассник — дистанцию 100 м за 14,8 с. Считая, что ученики бежали с постоянными скоростями, выяснить, кто бежал быстрее.

Для того чтобы определить, кто из учеников бежал быстрее, необходимо вычислить и сравнить их скорости. Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — это пройденное расстояние, а $t$ — время, затраченное на его прохождение. В условии задачи сказано, что ученики бежали с постоянными скоростями.

Вычисление скорости семиклассника

Семиклассник пробежал дистанцию $S_1 = 60$ метров за время $t_1 = 9$ секунд. Вычислим его скорость $v_1$:

$v_1 = \frac{S_1}{t_1} = \frac{60 \text{ м}}{9 \text{ с}} = \frac{20}{3} \text{ м/с}$

Для удобства сравнения преобразуем полученную дробь в десятичную:

$v_1 = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ м/с}$

Вычисление скорости десятиклассника

Десятиклассник пробежал дистанцию $S_2 = 100$ метров за время $t_2 = 14.8$ секунды. Вычислим его скорость $v_2$:

$v_2 = \frac{S_2}{t_2} = \frac{100 \text{ м}}{14.8 \text{ с}} = \frac{1000}{148} \text{ м/с}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$v_2 = \frac{1000 \div 4}{148 \div 4} = \frac{250}{37} \text{ м/с}$

Теперь преобразуем эту скорость в десятичную дробь:

$v_2 = \frac{250}{37} \approx 6.76 \text{ м/с}$

Сравнение скоростей

Сравним вычисленные скорости учеников:

Скорость семиклассника: $v_1 \approx 6.67 \text{ м/с}$

Скорость десятиклассника: $v_2 \approx 6.76 \text{ м/с}$

Поскольку $6.76 > 6.67$, то скорость десятиклассника больше скорости семиклассника ($v_2 > v_1$).

Ответ: десятиклассник бежал быстрее.