Номер 715, страница 264 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 715, страница 264.

Условие.

715. Построить графики функций и найти координаты точек их пересечения:

1) $y = 2x$ и $y = 3$;

2) $y = x - 1$ и $y = 0$;

3) $y = 3x$ и $y = -2x + 1$;

4) $y = 2x - 1$ и $y = -x + 3$;

5) $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$;

6) $y = \frac{1}{x}$ и $y = x^3$.

Решение 1.

Решение 4.

1) y=2x и y=3

Для построения графиков этих функций определим их тип.

$y=2x$ — это линейная функция, её график — прямая, проходящая через начало координат (0;0). Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем вторую точку, например, при $x=1$, получим $y=2 \cdot 1 = 2$. Таким образом, прямая проходит через точки (0;0) и (1;2).

$y=3$ — это также линейная функция, её график — прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0;3) на оси ординат (оси Oy).

Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему уравнений:
$\begin{cases} y = 2x \\ y = 3 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1.5$
Координата $y$ уже известна из второго уравнения: $y=3$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты (1.5; 3).

Ответ: (1.5; 3).

2) y=x-1 и y=0

$y=x-1$ — линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат.
При $x=0$, $y=0-1=-1$. Точка пересечения с осью Oy: (0; -1).
При $y=0$, $0=x-1$, откуда $x=1$. Точка пересечения с осью Ox: (1; 0).

$y=0$ — это уравнение оси абсцисс (оси Ox).

Координаты точки пересечения — это решение системы:
$\begin{cases} y = x - 1 \\ y = 0 \end{cases}$
Подставим $y=0$ в первое уравнение:
$0 = x - 1$
$x = 1$
Координаты точки пересечения (1; 0). Это и есть точка пересечения прямой $y=x-1$ с осью Ox.

Ответ: (1; 0).

3) y=3x и y=-2x+1

Обе функции — линейные, их графики — прямые.

$y=3x$ — прямая, проходящая через начало координат (0;0) и, например, точку (1;3).

$y=-2x+1$ — прямая. Найдем две точки:
При $x=0$, $y=1$. Точка (0; 1).
При $y=0$, $0=-2x+1 \implies 2x=1 \implies x=0.5$. Точка (0.5; 0).

Чтобы найти точку пересечения, приравняем выражения для $y$:
$3x = -2x + 1$
$3x + 2x = 1$
$5x = 1$
$x = \frac{1}{5}$
Теперь найдем $y$, подставив $x$ в любое из уравнений, например, в первое:
$y = 3x = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

Координаты точки пересечения: ($\frac{1}{5}$; $\frac{3}{5}$).

Ответ: ($\frac{1}{5}$; $\frac{3}{5}$).

4) y=2x-1 и y=-x+3

Обе функции — линейные, графики — прямые.

$y=2x-1$. Точки для построения:
При $x=0$, $y=-1$. Точка (0; -1).
При $x=1$, $y=2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка (1; 1).

$y=-x+3$. Точки для построения:
При $x=0$, $y=3$. Точка (0; 3).
При $x=3$, $y=-3+3=0$. Точка (3; 0).

Найдем точку пересечения, решив систему:
$2x - 1 = -x + 3$
$2x + x = 3 + 1$
$3x = 4$
$x = \frac{4}{3}$
Подставим $x$ во второе уравнение:
$y = -x + 3 = -\frac{4}{3} + 3 = -\frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{5}{3}$

Координаты точки пересечения: ($\frac{4}{3}$; $\frac{5}{3}$).

Ответ: ($\frac{4}{3}$; $\frac{5}{3}$).

5) y=x² и y=√x

$y=x^2$ — квадратичная функция, её график — парабола. Ветви направлены вверх, вершина в точке (0;0). Проходит через точки (-1; 1), (1; 1), (-2; 4), (2; 4).

$y=\sqrt{x}$ — функция квадратного корня. График представляет собой ветвь параболы, симметричную графику $y=x^2$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. Функция определена при $x \ge 0$. Проходит через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2).

Для нахождения точек пересечения решим уравнение $x^2 = \sqrt{x}$. Заметим, что $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$), так как существует $\sqrt{x}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x^2)^2 = (\sqrt{x})^2$
$x^4 = x$
$x^4 - x = 0$
$x(x^3 - 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
1. $x = 0$
2. $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x=0$, $y = 0^2 = 0$. Точка (0; 0).
При $x=1$, $y = 1^2 = 1$. Точка (1; 1).

Графики пересекаются в двух точках.

Ответ: (0; 0) и (1; 1).

6) y=1/x и y=x³

$y = \frac{1}{x}$ — обратная пропорциональность, её график — гипербола. Состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами. Функция не определена при $x=0$.

$y=x^3$ — кубическая функция, её график — кубическая парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно него.

Найдем точки пересечения, приравняв правые части уравнений:
$\frac{1}{x} = x^3$
Область определения этого уравнения: $x \ne 0$.
Умножим обе части на $x$:
$1 = x^4$
Это уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x=1$, $y = 1^3 = 1$. Точка (1; 1).
При $x=-1$, $y = (-1)^3 = -1$. Точка (-1; -1).

Графики пересекаются в двух точках.

Ответ: (1; 1) и (-1; -1).