Номер 713, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 713, страница 263.

Условие.

713. Две бригады монтажников затратили на сборку агрегата 6 ч 40 мин. Сколько времени потребуется на сборку такого же агрегата каждой бригаде отдельно, если одной из них потребуется на эту работу на 3 ч больше, чем другой?

Решение 3.

Решение 4.

Примем всю работу по сборке агрегата за единицу (1).

Пусть время, которое требуется первой бригаде для выполнения всей работы, составляет $t$ часов. Тогда ее производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $\frac{1}{t}$.

Согласно условию, второй бригаде на выполнение той же работы требуется на 3 часа больше, то есть $t+3$ часов. Соответственно, ее производительность равна $\frac{1}{t+3}$.

Две бригады, работая вместе, затратили 6 часов 40 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов. 40 минут составляют $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ часа. Таким образом, общее время работы равно $6 \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$ часа.

При совместной работе производительности бригад складываются. Общая производительность $P_{общ}$ равна сумме производительностей каждой бригады: $P_{общ} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t+3}$.

Также общую производительность можно найти, разделив всю работу на время, затраченное на ее выполнение: $P_{общ} = \frac{1}{20/3} = \frac{3}{20}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности:

$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+3} = \frac{3}{20}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{t+3+t}{t(t+3)} = \frac{3}{20}$

$\frac{2t+3}{t^2+3t} = \frac{3}{20}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$20 \cdot (2t+3) = 3 \cdot (t^2+3t)$

Раскроем скобки:

$40t + 60 = 3t^2 + 9t$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$3t^2 + 9t - 40t - 60 = 0$

$3t^2 - 31t - 60 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-60) = 961 + 720 = 1681$

$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$

Теперь найдем значения $t$ по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-31) + 41}{2 \cdot 3} = \frac{31 + 41}{6} = \frac{72}{6} = 12$

$t_2 = \frac{-(-31) - 41}{2 \cdot 3} = \frac{31 - 41}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -\frac{5}{3}$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Следовательно, время, за которое первая бригада выполнит работу, равно 12 часов.

Время, которое потребуется второй бригаде, составляет:

$t+3 = 12+3 = 15$ часов.

Ответ: одной бригаде на сборку агрегата потребуется 12 часов, а другой — 15 часов.