Номер 706, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 706, страница 263.

Условие.

Разложить на множители (706—707).

706.

1) $a^4 - b^4 + b^2 - a^2;$

2) $m^2n - n + mn^2 - m;$

3) $m^5 + m^3 - m^2 - m^4;$

4) $x^4 - x^3 - x + x^2.$

Решение 4.

1) Для разложения многочлена $a^4 - b^4 + b^2 - a^2$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a^4 - b^4) + (b^2 - a^2)$. Первая скобка $(a^4 - b^4)$ представляет собой разность квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$. Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем: $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. Во второй скобке $(b^2 - a^2)$ вынесем знак минус, чтобы получить выражение, совпадающее с одним из множителей первого слагаемого: $-(a^2 - b^2)$. Теперь исходное выражение имеет вид: $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) - (a^2 - b^2)$. Мы видим общий множитель $(a^2 - b^2)$, который можно вынести за скобки: $(a^2 - b^2)((a^2 + b^2) - 1) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - 1)$. Множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше: $(a - b)(a + b)$. Таким образом, окончательное разложение на множители: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2 - 1)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2 - 1)$.

2) Для разложения на множители выражения $m^2n - n + mn^2 - m$ воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие общие переменные: $(m^2n + mn^2) - (m + n)$. Из первой группы $(m^2n + mn^2)$ вынесем за скобки общий множитель $mn$: $mn(m + n)$. Теперь выражение принимает вид: $mn(m + n) - (m + n)$. Мы видим общий множитель $(m+n)$, который выносим за скобки: $(m + n)(mn - 1)$.
Ответ: $(m + n)(mn - 1)$.

3) Рассмотрим выражение $m^5 + m^3 - m^2 - m^4$. Для удобства переставим слагаемые: $m^5 - m^4 + m^3 - m^2$. Сначала вынесем за скобки общий множитель $m^2$: $m^2(m^3 - m^2 + m - 1)$. Теперь разложим на множители выражение в скобках $(m^3 - m^2 + m - 1)$ методом группировки: $(m^3 - m^2) + (m - 1)$. Из первой группы $(m^3 - m^2)$ вынесем за скобки $m^2$: $m^2(m - 1)$. Выражение в скобках принимает вид: $m^2(m-1) + 1(m-1)$. Выносим общий множитель $(m-1)$: $(m-1)(m^2+1)$. Подставляя это разложение в наше выражение, получаем окончательный результат: $m^2(m-1)(m^2+1)$.
Ответ: $m^2(m-1)(m^2+1)$.

4) Рассмотрим выражение $x^4 - x^3 - x + x^2$. Переставим слагаемые для удобства: $x^4 - x^3 + x^2 - x$. Вынесем за скобки общий для всех слагаемых множитель $x$: $x(x^3 - x^2 + x - 1)$. Теперь разложим на множители выражение в скобках $(x^3 - x^2 + x - 1)$ методом группировки: $(x^3 - x^2) + (x - 1)$. Из первой группы $(x^3 - x^2)$ вынесем за скобки $x^2$: $x^2(x - 1)$. Выражение в скобках принимает вид: $x^2(x-1) + 1(x-1)$. Выносим общий множитель $(x-1)$: $(x-1)(x^2+1)$. Учитывая вынесенный ранее множитель $x$, получаем итоговое разложение: $x(x-1)(x^2+1)$.
Ответ: $x(x-1)(x^2+1)$.