Номер 702, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 702, страница 262.

Условие.

702. 1) $\frac{x}{x-3} + \frac{3}{x^2-5x+6} = \frac{3}{2-x};$

2) $\frac{3}{x-3} + \frac{3}{x^2-7x+12} = \frac{1-x}{x-4};$

3) $3 + \frac{5}{x-1} = \frac{2}{x+2};$

4) $5 + \frac{2}{x-2} = \frac{17}{x+3}.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{x}{x-3} + \frac{3}{x^2-5x+6} = \frac{3}{2-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x^2 - 5x + 6 \neq 0$. Разложим квадратный трехчлен на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1=2$ и $x_2=3$. Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$, откуда $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

Преобразуем уравнение, подставив разложенный на множители знаменатель и заметив, что $2-x = -(x-2)$:

$\frac{x}{x-3} + \frac{3}{(x-2)(x-3)} = \frac{3}{-(x-2)}$

$\frac{x}{x-3} + \frac{3}{(x-2)(x-3)} = -\frac{3}{x-2}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x-3)$, чтобы избавиться от дробей:

$x(x-2) + 3 = -3(x-3)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 - 2x + 3 = -3x + 9$

$x^2 - 2x + 3x + 3 - 9 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$, $x \neq 3$).

Корень $x = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Ответ: $-3$.

2) $\frac{3}{x-3} + \frac{3}{x^2-7x+12} = \frac{1-x}{x-4}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x^2 - 7x + 12 \neq 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ по теореме Виета равны $x_1=3$ и $x_2=4$. Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq 4$.

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq 4$.

Перепишем уравнение с разложенным на множители знаменателем:

$\frac{3}{x-3} + \frac{3}{(x-3)(x-4)} = \frac{1-x}{x-4}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x-4)$:

$3(x-4) + 3 = (1-x)(x-3)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$3x - 12 + 3 = x - 3 - x^2 + 3x$

$3x - 9 = -x^2 + 4x - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 3x - 4x - 9 + 3 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$, $x \neq 4$).

Корень $x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Корень $x = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-2$.

3) $3 + \frac{5}{x-1} = \frac{2}{x+2}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -2$.

Общий знаменатель дробей: $(x-1)(x+2)$. Умножим на него обе части уравнения:

$3(x-1)(x+2) + 5(x+2) = 2(x-1)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$3(x^2 + 2x - x - 2) + 5x + 10 = 2x - 2$

$3(x^2 + x - 2) + 5x + 10 = 2x - 2$

$3x^2 + 3x - 6 + 5x + 10 = 2x - 2$

$3x^2 + 8x + 4 = 2x - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 + 8x - 2x + 4 + 2 = 0$

$3x^2 + 6x + 6 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Поскольку дискриминант $D < 0$, действительных корней у уравнения нет.

Ответ: корней нет.

4) $5 + \frac{2}{x-2} = \frac{17}{x+3}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель дробей: $(x-2)(x+3)$. Умножим на него обе части уравнения:

$5(x-2)(x+3) + 2(x+3) = 17(x-2)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$5(x^2 + 3x - 2x - 6) + 2x + 6 = 17x - 34$

$5(x^2 + x - 6) + 2x + 6 = 17x - 34$

$5x^2 + 5x - 30 + 2x + 6 = 17x - 34$

$5x^2 + 7x - 24 = 17x - 34$

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 + 7x - 17x - 24 + 34 = 0$

$5x^2 - 10x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 5 для упрощения:

$x^2 - 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Поскольку дискриминант $D < 0$, действительных корней у уравнения нет.

Ответ: корней нет.