Номер 709, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 709, страница 263.

Условие.

709. Бригада формовщиков должна была в определённый срок изготовить 48 пресс-форм для отливки деталей. Предложенная бригадой новая технология формовки позволила изготовлять на 4 пресс-формы больше в месяц, поэтому всё задание они выполнили за месяц до срока. Сколько пресс-форм выпускала бригада за месяц?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество пресс-форм, которое бригада должна была изготавливать за месяц по первоначальному плану. Тогда фактическая производительность бригады составила $x + 4$ пресс-формы в месяц благодаря новой технологии.

Общий объем работы — 48 пресс-форм.

Время, которое планировалось затратить на выполнение всего задания, можно выразить как отношение общего объема работы к плановой производительности:

$t_{план} = \frac{48}{x}$ месяцев.

Фактическое время, затраченное на выполнение задания, можно выразить как отношение общего объема работы к фактической производительности:

$t_{факт} = \frac{48}{x+4}$ месяцев.

По условию задачи, бригада выполнила задание на месяц раньше срока. Это означает, что разница между плановым и фактическим временем составляет 1 месяц:

$t_{план} - t_{факт} = 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{48}{x} - \frac{48}{x+4} = 1$

Теперь решим это уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+4)$:

$\frac{48(x+4) - 48x}{x(x+4)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{48x + 192 - 48x}{x^2 + 4x} = 1$

$\frac{192}{x^2 + 4x} = 1$

Так как знаменатель не может быть равен нулю, мы можем умножить обе части на $x^2 + 4x$:

$192 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 192 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 28}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как $x$ представляет собой количество производимых изделий, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, единственный подходящий корень — это $x=12$.

Таким образом, плановая производительность бригады составляла 12 пресс-форм в месяц.

Вопрос задачи — сколько пресс-форм выпускала бригада за месяц по факту. Фактическая производительность была на 4 пресс-формы больше плановой:

$x + 4 = 12 + 4 = 16$

Ответ: бригада выпускала 16 пресс-форм за месяц.