Номер 711, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 711, страница 263.

Условие.

711. Числитель некоторой обыкновенной дроби на 11 больше знаменателя. Если к числителю дроби прибавить 5, а к знаменателю — 12, то получится дробь втрое меньшая исходной. Найти эту дробь.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть числитель искомой обыкновенной дроби равен $n$, а знаменатель равен $d$. Тогда исходная дробь имеет вид $\frac{n}{d}$.

По условию задачи, числитель на 11 больше знаменателя. Составим первое уравнение: $n = d + 11$

Далее, если к числителю дроби прибавить 5, а к знаменателю прибавить 12, то получится новая дробь $\frac{n+5}{d+12}$. Эта новая дробь втрое меньше исходной, что можно выразить вторым уравнением: $\frac{n + 5}{d + 12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n}{d}$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} n = d + 11 \\ \frac{n + 5}{d + 12} = \frac{n}{3d} \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для $n$ из первого уравнения во второе: $\frac{(d + 11) + 5}{d + 12} = \frac{d + 11}{3d}$

Упростим левую часть полученного уравнения: $\frac{d + 16}{d + 12} = \frac{d + 11}{3d}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение). Область допустимых значений: $d \neq 0$ и $d \neq -12$. $3d \cdot (d + 16) = (d + 12) \cdot (d + 11)$

Раскроем скобки: $3d^2 + 48d = d^2 + 11d + 12d + 132$

Приведем подобные слагаемые: $3d^2 + 48d = d^2 + 23d + 132$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $3d^2 - d^2 + 48d - 23d - 132 = 0$ $2d^2 + 25d - 132 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 25^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-132) = 625 + 1056 = 1681$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.

Найдем значения для $d$: $d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + 41}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$ $d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - 41}{2 \cdot 2} = \frac{-66}{4} = -\frac{33}{2}$

В условии речь идет об "обыкновенной дроби", числитель и знаменатель которой по определению являются целыми числами. Следовательно, корень $d_2 = -\frac{33}{2}$ не является подходящим решением. Единственный подходящий корень — это $d = 4$.

Теперь, зная знаменатель, найдем числитель из первого уравнения $n = d + 11$: $n = 4 + 11 = 15$

Следовательно, искомая дробь — это $\frac{15}{4}$.

Выполним проверку.
1. Проверим первое условие: числитель (15) на 11 больше знаменателя (4). $15 - 4 = 11$. Условие выполняется.
2. Проверим второе условие: к числителю прибавим 5, а к знаменателю 12. Новая дробь: $\frac{15+5}{4+12} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.
3. Сравним полученную дробь с исходной. Исходная дробь $\frac{15}{4}$. Новая дробь $\frac{5}{4}$. Найдем их отношение: $\frac{15}{4} : \frac{5}{4} = \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{15}{5} = 3$. Новая дробь в 3 раза меньше исходной. Условие выполняется.

Ответ: $\frac{15}{4}$