Номер 705, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 705, страница 263.

Условие.

705. Сократить дробь:

1) $\frac{a^2 - 4}{a + 2}$;

2) $\frac{a + 2}{a^2 - 7a - 18}$;

3) $\frac{a^2 + 7a + 12}{a^2 + 6a + 8}$;

4) $\frac{2a^2 - 5a - 3}{4a^2 - 6a - 4}$;

5) $\frac{-2a^2 + 3a + 2}{2a^2 + 5a + 2}$;

6) $\frac{-5a^2 + 13a + 6}{5a^2 - 8a - 4}$.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{a^2 - 4}{a + 2}$

Чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители. Числитель $a^2 - 4$ представляет собой разность квадратов $a^2 - 2^2$.

Используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Получаем: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2}$

Сократим общий множитель $(a + 2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a + 2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$).

$\frac{(a - 2)\sout{(a + 2)}}{\sout{a + 2}} = a - 2$

Ответ: $a - 2$

2) $\frac{a + 2}{a^2 - 7a - 18}$

Разложим знаменатель $a^2 - 7a - 18$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 7a - 18 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $7$, а их произведение равно $-18$. Методом подбора находим корни: $a_1 = 9$ и $a_2 = -2$.

Знаменатель раскладывается на множители по формуле $A(a - a_1)(a - a_2)$:

$a^2 - 7a - 18 = (a - 9)(a - (-2)) = (a - 9)(a + 2)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{a + 2}{(a - 9)(a + 2)}$

Сократим общий множитель $(a + 2)$ (при условии, что $a \neq -2$).

$\frac{\sout{a + 2}}{(a - 9)\sout{(a + 2)}} = \frac{1}{a - 9}$

Ответ: $\frac{1}{a - 9}$

3) $\frac{a^2 + 7a + 12}{a^2 + 6a + 8}$

Для сокращения дроби разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $a^2 + 7a + 12$. Найдем корни уравнения $a^2 + 7a + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $-7$, произведение $12$. Корни: $a_1 = -3$, $a_2 = -4$.

Таким образом, $a^2 + 7a + 12 = (a - (-3))(a - (-4)) = (a + 3)(a + 4)$.

Разложим знаменатель $a^2 + 6a + 8$. Найдем корни уравнения $a^2 + 6a + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $-6$, произведение $8$. Корни: $a_1 = -2$, $a_2 = -4$.

Таким образом, $a^2 + 6a + 8 = (a - (-2))(a - (-4)) = (a + 2)(a + 4)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(a + 3)(a + 4)}{(a + 2)(a + 4)}$

Сократим общий множитель $(a + 4)$ (при условии, что $a \neq -4$).

$\frac{(a + 3)\sout{(a + 4)}}{(a + 2)\sout{(a + 4)}} = \frac{a + 3}{a + 2}$

Ответ: $\frac{a + 3}{a + 2}$

4) $\frac{2a^2 - 5a - 3}{4a^2 - 6a - 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $2a^2 - 5a - 3$ решим уравнение $2a^2 - 5a - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни: $a_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$ и $a_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Тогда $2a^2 - 5a - 3 = 2(a - 3)(a + \frac{1}{2}) = (a - 3)(2a + 1)$.

Для знаменателя $4a^2 - 6a - 4$ сначала вынесем общий множитель 2: $2(2a^2 - 3a - 2)$. Теперь решим уравнение $2a^2 - 3a - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни: $a_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$ и $a_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Тогда $2a^2 - 3a - 2 = 2(a - 2)(a + \frac{1}{2}) = (a - 2)(2a + 1)$.

Знаменатель равен $2(a - 2)(2a + 1)$.

Подставляем разложения в дробь:

$\frac{(a - 3)(2a + 1)}{2(a - 2)(2a + 1)}$

Сокращаем общий множитель $(2a + 1)$ (при условии, что $a \neq -\frac{1}{2}$).

$\frac{(a - 3)\sout{(2a + 1)}}{2(a - 2)\sout{(2a + 1)}} = \frac{a - 3}{2(a - 2)}$

Ответ: $\frac{a - 3}{2(a - 2)}$

5) $\frac{-2a^2 + 3a + 2}{2a^2 + 5a + 2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $-2a^2 + 3a + 2$ решим уравнение $-2a^2 + 3a + 2 = 0$ или $2a^2 - 3a - 2 = 0$. Корни этого уравнения мы нашли в предыдущем задании: $a_1 = 2$ и $a_2 = -\frac{1}{2}$.

Тогда $-2a^2 + 3a + 2 = -2(a - 2)(a + \frac{1}{2}) = -(a - 2)(2a + 1) = (2 - a)(2a + 1)$.

Для знаменателя $2a^2 + 5a + 2$ решим уравнение $2a^2 + 5a + 2 = 0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $a_1 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $a_2 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$.

Тогда $2a^2 + 5a + 2 = 2(a + \frac{1}{2})(a + 2) = (2a + 1)(a + 2)$.

Подставляем разложения в дробь:

$\frac{(2 - a)(2a + 1)}{(a + 2)(2a + 1)}$

Сокращаем общий множитель $(2a + 1)$ (при условии, что $a \neq -\frac{1}{2}$).

$\frac{(2 - a)\sout{(2a + 1)}}{(a + 2)\sout{(2a + 1)}} = \frac{2 - a}{a + 2}$

Ответ: $\frac{2 - a}{a + 2}$

6) $\frac{-5a^2 + 13a + 6}{5a^2 - 8a - 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $-5a^2 + 13a + 6$ решим уравнение $-5a^2 + 13a + 6 = 0$ или $5a^2 - 13a - 6 = 0$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Корни: $a_1 = \frac{13 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$ и $a_2 = \frac{13 - 17}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Тогда $-5a^2 + 13a + 6 = -5(a - 3)(a + \frac{2}{5}) = -(a - 3)(5a + 2) = (3 - a)(5a + 2)$.

Для знаменателя $5a^2 - 8a - 4$ решим уравнение $5a^2 - 8a - 4 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Корни: $a_1 = \frac{8 + 12}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$ и $a_2 = \frac{8 - 12}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Тогда $5a^2 - 8a - 4 = 5(a - 2)(a + \frac{2}{5}) = (a - 2)(5a + 2)$.

Подставляем разложения в дробь:

$\frac{(3 - a)(5a + 2)}{(a - 2)(5a + 2)}$

Сокращаем общий множитель $(5a + 2)$ (при условии, что $a \neq -\frac{2}{5}$).

$\frac{(3 - a)\sout{(5a + 2)}}{(a - 2)\sout{(5a + 2)}} = \frac{3 - a}{a - 2}$

Ответ: $\frac{3 - a}{a - 2}$