Номер 712, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 712, страница 263.

Условие.

712. Двумя комбайнами можно убрать урожай с некоторого поля за 12 дней. Если бы уборку производили на каждом комбайне отдельно, то первому потребовалось бы на 10 дней больше, чем второму. За сколько дней на каждом из комбайнов отдельно можно выполнить эту работу?

Решение 3.

Решение 4.

Примем всю работу по уборке урожая с поля за единицу (1).

Пусть $x$ — это количество дней, за которое второй комбайн может выполнить всю работу самостоятельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$.

Согласно условию задачи, первому комбайну требуется на 10 дней больше, чем второму. Значит, он может выполнить всю работу за $x + 10$ дней. Соответственно, производительность первого комбайна равна $\frac{1}{x+10}$.

При совместной работе производительности комбайнов складываются. Их общая производительность будет равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10}$.

Из условия известно, что вместе они выполняют всю работу за 12 дней. Это можно выразить уравнением: (общая производительность) $\times$ (время) = (объем работы).

Составим и решим уравнение: $12 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10}\right) = 1$

Разделим обе части уравнения на 12: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $\frac{x+10+x}{x(x+10)} = \frac{1}{12}$ $\frac{2x+10}{x^2+10x} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $12 \cdot (2x+10) = 1 \cdot (x^2+10x)$ $24x + 120 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 10x - 24x - 120 = 0$ $x^2 - 14x - 120 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 26}{2}$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20$ $x_2 = \frac{14 - 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку $x$ представляет собой количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, время работы второго комбайна в одиночку составляет 20 дней.

Теперь найдем время работы первого комбайна: $x + 10 = 20 + 10 = 30$ дней.

Ответ: первому комбайну для выполнения работы потребуется 30 дней, а второму — 20 дней.