Номер 710, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 710, страница 263.

Условие.

710. С одного участка собрали $450 \text{ т}$ картофеля, а с другого, площадь которого на $5 \text{ га}$ меньше, $400 \text{ т}$. Определить урожайность картофеля с каждого участка, если на втором участке она была на $2 \text{ т}$ выше, чем на первом.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть урожайность картофеля с первого участка составляет $x$ т/га.

Согласно условию, урожайность со второго участка на 2 т/га выше, следовательно, она составляет $(x + 2)$ т/га.

Урожайность — это отношение массы собранного урожая к площади участка. Отсюда площадь участка можно выразить как отношение массы урожая к его урожайности ($S = \frac{M}{Y}$).

С первого участка собрали 450 т картофеля, поэтому его площадь равна: $S_1 = \frac{450}{x}$ га.

Со второго участка собрали 400 т картофеля, поэтому его площадь равна: $S_2 = \frac{400}{x+2}$ га.

По условию задачи, площадь второго участка на 5 га меньше площади первого. На основе этого можно составить уравнение:

$S_1 - S_2 = 5$

$\frac{450}{x} - \frac{400}{x+2} = 5$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$ и умножим обе части уравнения на него. При этом необходимо учесть, что урожайность $x$ должна быть положительным числом ($x > 0$).

$450(x+2) - 400x = 5x(x+2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$450x + 900 - 400x = 5x^2 + 10x$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$50x + 900 = 5x^2 + 10x$

$5x^2 + 10x - 50x - 900 = 0$

$5x^2 - 40x - 900 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$x^2 - 8x - 180 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, найдя его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 64 + 720 = 784$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

$x_1 = \frac{-(-8) + 28}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 28}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$x_2 = \frac{-(-8) - 28}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 28}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию задачи, так как урожайность не может быть отрицательной величиной. Следовательно, урожайность картофеля на первом участке составляет 18 т/га.

Теперь определим урожайность на втором участке:

$x + 2 = 18 + 2 = 20$ т/га.

Проверим полученные значения:

• Площадь первого участка: $S_1 = \frac{450 \text{ т}}{18 \text{ т/га}} = 25$ га.
• Площадь второго участка: $S_2 = \frac{400 \text{ т}}{20 \text{ т/га}} = 20$ га.
• Разница площадей: $25 \text{ га} - 20 \text{ га} = 5$ га. Это соответствует условию.
• Разница урожайности: $20 \text{ т/га} - 18 \text{ т/га} = 2$ т/га. Это также соответствует условию.

Ответ: урожайность картофеля с первого участка — 18 т/га, со второго — 20 т/га.