Номер 699, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 699, страница 262.

Условие.

Решить уравнение (699—702).

699. 1) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0;$

2) $4x^4 - 37x^2 + 9 = 0;$

3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0;$

4) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом должно выполняться условие $y \ge 0$.

Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$4y^2 - 17y + 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня ($4$ и $\frac{1}{4}$) положительны, значит они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

1. Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

2. Если $y = \frac{1}{4}$, то $x^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда $x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm2; \pm\frac{1}{2}$.

2) $4x^4 - 37x^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$4y^2 - 37y + 9 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1369 - 144 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 + 35}{2 \cdot 4} = \frac{72}{8} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 - 35}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня положительны. Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{9} = \pm3$.

2. $x^2 = \frac{1}{4} \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm3; \pm\frac{1}{2}$.

3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$).

$y^2 - 7y + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $y_1 + y_2 = 7$

Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 12$

Подбором находим корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = 4$. Оба корня положительны.

Вернемся к переменной $x$:

1. $x^2 = 3 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$.

2. $x^2 = 4 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

Ответ: $\pm2; \pm\sqrt{3}$.

4) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$).

$y^2 - 11y + 18 = 0$

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 11$

$y_1 \cdot y_2 = 18$

Подбором находим корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 9$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$.

2. $x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{9} = \pm3$.

Ответ: $\pm3; \pm\sqrt{2}$.