Страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

695. 1) $ \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{9}{16} = 0; $

2) $ \frac{5}{4}x^2 - x + \frac{1}{9} = 0; $

3) $ \frac{3x^2 - 11}{8} + \frac{74 - 2x^2}{12} = 10. $

1) Исходное уравнение: $\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{9}{16} = 0$.Это квадратное уравнение, левая часть которого является полным квадратом суммы. Проверим это.Первый член $\frac{1}{9}x^2$ является квадратом выражения $\frac{1}{3}x$, то есть $(\frac{1}{3}x)^2$.Третий член $\frac{9}{16}$ является квадратом числа $\frac{3}{4}$, то есть $(\frac{3}{4})^2$.Средний член должен быть удвоенным произведением этих выражений: $2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{3}{4}) = \frac{6}{12}x = \frac{1}{2}x$. Это совпадает со средним членом в уравнении.Следовательно, уравнение можно записать в виде:$(\frac{1}{3}x + \frac{3}{4})^2 = 0$Из этого следует, что выражение в скобках равно нулю:$\frac{1}{3}x + \frac{3}{4} = 0$Перенесем $\frac{3}{4}$ в правую часть уравнения, изменив знак:$\frac{1}{3}x = -\frac{3}{4}$Чтобы найти $x$, умножим обе части на 3:$x = -\frac{3}{4} \cdot 3 = -\frac{9}{4}$Можно представить ответ в виде десятичной дроби: $x = -2.25$.Ответ: $x = -\frac{9}{4}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{5}{4}x^2 - x + \frac{1}{9} = 0$.Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a = \frac{5}{4}$, $b = -1$, $c = \frac{1}{9}$.Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{20}{36} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \frac{2}{3}}{2 \cdot \frac{5}{4}} = \frac{1 \pm \frac{2}{3}}{\frac{10}{4}} = \frac{1 \pm \frac{2}{3}}{\frac{5}{2}}$Найдем каждый корень отдельно:$x_1 = \frac{1 + \frac{2}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$x_2 = \frac{1 - \frac{2}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = \frac{2}{15}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{3x^2 - 11}{8} + \frac{74 - 2x^2}{12} = 10$.Для решения этого уравнения сначала избавимся от знаменателей. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 8 и 12. НОК(8, 12) = 24.Умножим обе части уравнения на 24:$24 \cdot \left(\frac{3x^2 - 11}{8}\right) + 24 \cdot \left(\frac{74 - 2x^2}{12}\right) = 10 \cdot 24$Выполним сокращение:$3(3x^2 - 11) + 2(74 - 2x^2) = 240$Раскроем скобки:$9x^2 - 33 + 148 - 4x^2 = 240$Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:$(9x^2 - 4x^2) + (148 - 33) = 240$$5x^2 + 115 = 240$Перенесем 115 в правую часть с противоположным знаком:$5x^2 = 240 - 115$$5x^2 = 125$Разделим обе части на 5:$x^2 = \frac{125}{5}$$x^2 = 25$Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:$x = \pm\sqrt{25}$$x_1 = 5, x_2 = -5$Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -5$.

696. 1) $x^2 + 3x + 70 = 0;$

2) $x^2 - 12x + 11 = 0;$

3) $x^2 + 20x + 100 = 0;$

4) $x^2 + 18x - 208 = 0;$

5) $x(x - 15) = 3(108 - 5x);$

6) $(x - 3)^2 + (x + 4)^2 - (x - 5)^2 = 17x + 24;$

7) $\frac{5x^2 + 9}{6} - \frac{4x^2 - 9}{5} = 3;$

8) $\frac{x(x - 3)}{7} - 11 = -x.$

1) $x^2 + 3x + 70 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=3$, $c=70$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 70 = 9 - 280 = -271$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

2) $x^2 - 12x + 11 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-12$, $c=11$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-12) + 10}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 10}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$x_2 = \frac{-(-12) - 10}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: $1; 11$.

3) $x^2 + 20x + 100 = 0$
Это квадратное уравнение является полным квадратом, так как его можно представить в виде $(x+10)^2 = 0$.
$(x+10)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100$.
Из уравнения $(x+10)^2=0$ следует, что $x+10=0$.
$x = -10$.
Альтернативное решение через дискриминант:
$a=1$, $b=20$, $c=100$.
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 400 - 400 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один действительный корень: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2 \cdot 1} = -10$.
Ответ: $-10$.

4) $x^2 + 18x - 208 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=18$, $c=-208$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-208) = 324 + 832 = 1156$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-18 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-18 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-52}{2} = -26$
Ответ: $-26; 8$.

5) $x(x - 15) = 3(108 - 5x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 15x = 324 - 15x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 15x - 324 + 15x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 324 = 0$
$x^2 = 324$
$x = \pm\sqrt{324}$
$x_1 = 18$, $x_2 = -18$.
Ответ: $-18; 18$.

6) $(x - 3)^2 + (x + 4)^2 - (x - 5)^2 = 17x + 24$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 10x + 25) = 17x + 24$
$x^2 - 6x + 9 + x^2 + 8x + 16 - x^2 + 10x - 25 = 17x + 24$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(x^2 + x^2 - x^2) + (-6x + 8x + 10x) + (9 + 16 - 25) = 17x + 24$
$x^2 + 12x = 17x + 24$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 12x - 17x - 24 = 0$
$x^2 - 5x - 24 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: $-3; 8$.

7) $\frac{5x^2 + 9}{6} - \frac{4x^2 - 9}{5} = 3$
Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 5, то есть на 30, чтобы избавиться от дробей:
$30 \cdot \frac{5x^2 + 9}{6} - 30 \cdot \frac{4x^2 - 9}{5} = 3 \cdot 30$
$5(5x^2 + 9) - 6(4x^2 - 9) = 90$
Раскроем скобки:
$25x^2 + 45 - 24x^2 + 54 = 90$
Приведем подобные слагаемые:
$(25x^2 - 24x^2) + (45 + 54) = 90$
$x^2 + 99 = 90$
$x^2 = 90 - 99$
$x^2 = -9$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

8) $\frac{x(x - 3)}{7} - 11 = -x$
Умножим обе части уравнения на 7:
$7 \cdot \frac{x(x-3)}{7} - 7 \cdot 11 = 7 \cdot (-x)$
$x(x - 3) - 77 = -7x$
Раскроем скобки:
$x^2 - 3x - 77 = -7x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 3x + 7x - 77 = 0$
$x^2 + 4x - 77 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324$.
$\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-4 + 18}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-4 - 18}{2} = \frac{-22}{2} = -11$
Ответ: $-11; 7$.

697. Найти коэффициенты $p$ и $q$, если известно, что числа $10$ и $-15$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Для нахождения коэффициентов $p$ и $q$ воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$.

Согласно теореме Виета, если $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения, то выполняются следующие равенства:

1. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.

2. Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$.

По условию задачи, корнями уравнения являются числа $x_1 = 10$ и $x_2 = -15$.

Подставим эти значения в формулы Виета, чтобы найти $p$ и $q$.

Найдем коэффициент $p$ из формулы для суммы корней:

$x_1 + x_2 = 10 + (-15) = -5$

Так как $x_1 + x_2 = -p$, то получаем $-p = -5$, откуда следует, что $p = 5$.

Теперь найдем коэффициент $q$ из формулы для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = 10 \cdot (-15) = -150$

Так как $x_1 \cdot x_2 = q$, то получаем $q = -150$.

Таким образом, искомые коэффициенты равны $p=5$ и $q=-150$.

Ответ: $p = 5$, $q = -150$.

698. Записать квадратное уравнение, корни которого отличались бы от корней данного уравнения только знаками:

1) $x^2 - 8x + 15 = 0;$

2) $x^2 + bx + c = 0.$

Чтобы записать квадратное уравнение, корни которого отличаются от корней данного уравнения только знаками, можно воспользоваться одним из следующих методов.

Метод 1: Замена переменной

Пусть дано уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Мы ищем новое уравнение, корнями которого будут $y_1 = -x_1$ и $y_2 = -x_2$. Если $y$ — корень нового уравнения, то $y = -x$, где $x$ — корень исходного уравнения. Отсюда $x = -y$. Подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение:

$a(-y)^2 + b(-y) + c = 0$

$ay^2 - by + c = 0$

Так как имя переменной не имеет значения, мы можем записать искомое уравнение как $ax^2 - bx + c = 0$. Таким образом, чтобы получить новое уравнение, достаточно изменить знак коэффициента при первой степени переменной ($x$) на противоположный.

Метод 2: Использование теоремы Виета

По теореме Виета для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -b/a$

$x_1 \cdot x_2 = c/a$

Для нового уравнения с корнями $y_1 = -x_1$ и $y_2 = -x_2$ найдем их сумму и произведение:

Сумма: $y_1 + y_2 = (-x_1) + (-x_2) = -(x_1 + x_2) = -(-b/a) = b/a$.

Произведение: $y_1 \cdot y_2 = (-x_1)(-x_2) = x_1 \cdot x_2 = c/a$.

По обратной теореме Виета, искомое уравнение (с тем же старшим коэффициентом $a$) будет иметь вид $a(x^2 - (y_1+y_2)x + y_1y_2) = 0$, то есть $a(x^2 - (b/a)x + c/a) = 0$, что равносильно $ax^2 - bx + c = 0$.

Применим эти выводы к задачам.

1)

Дано уравнение: $x^2 - 8x + 15 = 0$.

В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $-8$. Чтобы получить уравнение с корнями, противоположными по знаку, нужно изменить знак этого коэффициента на противоположный, то есть на $8$. Остальные коэффициенты остаются без изменений.

Искомое уравнение имеет вид: $x^2 + 8x + 15 = 0$.

Проверка: Найдем корни исходного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а произведение $x_1 x_2 = 15$. Корни легко подбираются: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$. Следовательно, корни нового уравнения должны быть $-3$ и $-5$. Проверим, являются ли они корнями уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$. По теореме Виета для этого уравнения: Сумма корней: $(-3) + (-5) = -8$. Это соответствует коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком ($-8$). Произведение корней: $(-3) \cdot (-5) = 15$. Это соответствует свободному члену ($15$). Все верно.

Ответ: $x^2 + 8x + 15 = 0$.

2)

Дано уравнение в общем виде: $x^2 + bx + c = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Коэффициент при $x$ равен $b$, свободный член равен $c$. Используя выведенное выше правило, для получения уравнения с противоположными корнями необходимо изменить знак коэффициента при $x$. Текущий коэффициент при $x$ равен $b$. Новый коэффициент будет равен $-b$.

Следовательно, искомое уравнение: $x^2 - bx + c = 0$.

Проверка с помощью теоремы Виета: Для исходного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2$ имеем: $x_1 + x_2 = -b$ и $x_1 x_2 = c$. Новые корни $y_1 = -x_1, y_2 = -x_2$. Их сумма: $y_1 + y_2 = -x_1 - x_2 = -(x_1+x_2) = -(-b) = b$. Их произведение: $y_1 y_2 = (-x_1)(-x_2) = x_1 x_2 = c$. Новое уравнение, составленное по его корням, имеет вид $x^2 - (y_1+y_2)x + y_1y_2 = 0$. Подставляя найденные значения, получаем: $x^2 - bx + c = 0$.

Ответ: $x^2 - bx + c = 0$.

Решить уравнение (699—702).

699. 1) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0;$

2) $4x^4 - 37x^2 + 9 = 0;$

3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0;$

4) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0.$

1) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом должно выполняться условие $y \ge 0$.

Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$4y^2 - 17y + 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня ($4$ и $\frac{1}{4}$) положительны, значит они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

1. Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

2. Если $y = \frac{1}{4}$, то $x^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда $x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm2; \pm\frac{1}{2}$.

2) $4x^4 - 37x^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$4y^2 - 37y + 9 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1369 - 144 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 + 35}{2 \cdot 4} = \frac{72}{8} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 - 35}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня положительны. Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{9} = \pm3$.

2. $x^2 = \frac{1}{4} \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm3; \pm\frac{1}{2}$.

3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$).

$y^2 - 7y + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $y_1 + y_2 = 7$

Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 12$

Подбором находим корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = 4$. Оба корня положительны.

Вернемся к переменной $x$:

1. $x^2 = 3 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$.

2. $x^2 = 4 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

Ответ: $\pm2; \pm\sqrt{3}$.

4) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$).

$y^2 - 11y + 18 = 0$

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 11$

$y_1 \cdot y_2 = 18$

Подбором находим корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 9$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$.

2. $x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{9} = \pm3$.

Ответ: $\pm3; \pm\sqrt{2}$.

700. 1) $x^4 + x^2 - 2 = 0;$

2) $x^4 - x^2 - 12 = 0;$

3) $x^4 + 3x^2 + 2 = 0;$

4) $x^4 + 5x^2 + 6 = 0.$

1) Решим биквадратное уравнение $x^4 + x^2 - 2 = 0$.

Это уравнение решается введением новой переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.
После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 + t - 2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$.

Теперь необходимо вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.
Для первого корня $t_1 = 1$: так как $1 \ge 0$, это допустимое значение. Получаем уравнение $x^2 = 1$, которое имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Для второго корня $t_2 = -2$: так как $-2 < 0$, это значение не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Следовательно, уравнение $x^2 = -2$ не имеет действительных корней.

Ответ: $1; -1$.

2) Решим биквадратное уравнение $x^4 - x^2 - 12 = 0$.

Введем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение преобразуется в квадратное:
$t^2 - t - 12 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3$.

Выполним обратную замену.
Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию $t \ge 0$. Уравнение $x^2 = 4$ дает два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому уравнение $x^2 = -3$ не имеет действительных корней.

Ответ: $2; -2$.

3) Решим биквадратное уравнение $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 + 3t + 2 = 0$.

Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.
Также можно вычислить через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$.
$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2$.

Выполним обратную замену.
Оба корня для $t$ отрицательные: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.
Они не удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Следовательно, уравнения $x^2 = -1$ и $x^2 = -2$ не имеют действительных решений.

Ответ: действительных корней нет.

4) Решим биквадратное уравнение $x^4 + 5x^2 + 6 = 0$.

Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Уравнение примет вид:
$t^2 + 5t + 6 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета: сумма корней $-5$, произведение $6$. Корни: $t_1 = -2$ и $t_2 = -3$.
Через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$.
$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 - 1}{2} = -3$.

Возвращаемся к переменной $x$.
Оба найденных значения для $t$ отрицательные ($t_1 = -2$, $t_2 = -3$).
Так как $x^2$ не может быть отрицательным для действительных $x$, уравнения $x^2 = -2$ и $x^2 = -3$ не имеют действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

701. 1) $\frac{3}{x+2} = 4 + \frac{3}{x-1};$

2) $\frac{1}{x+1} = 3 + \frac{3}{3x-1};$

3) $1 + \frac{5x}{x+1} = \frac{6x+2}{(x+1)^2};$

4) $2 + \frac{x}{x+2} = \frac{12-x}{(x+2)^2};$

5) $\frac{3x}{x+2} + \frac{1}{x-2} = \frac{4}{x^2-4};$

6) $\frac{2x}{x-3} - \frac{1}{x+3} = \frac{6}{x^2-9}.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{3}{x+2} = 4 + \frac{3}{x-1} $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $ x+2 \neq 0 $ и $ x-1 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -2 $ и $ x \neq 1 $.
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$ \frac{3}{x+2} - \frac{3}{x-1} - 4 = 0 $
Приведем все члены к общему знаменателю $ (x+2)(x-1) $:
$ \frac{3(x-1) - 3(x+2) - 4(x+2)(x-1)}{(x+2)(x-1)} = 0 $
Раскроем скобки в числителе:
$ 3x - 3 - 3x - 6 - 4(x^2 - x + 2x - 2) = 0 $
$ -9 - 4(x^2 + x - 2) = 0 $
$ -9 - 4x^2 - 4x + 8 = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ -4x^2 - 4x - 1 = 0 $
Умножим обе части на -1:
$ 4x^2 + 4x + 1 = 0 $
Это полный квадрат суммы:
$ (2x+1)^2 = 0 $
$ 2x+1 = 0 $
$ 2x = -1 $
$ x = -0.5 $
Корень $ x = -0.5 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -0.5

2) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x+1} = 3 + \frac{3}{3x-1} $.
ОДЗ: $ x+1 \neq 0 $ и $ 3x-1 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -1 $ и $ x \neq \frac{1}{3} $.
Перенесем все члены в левую часть:
$ \frac{1}{x+1} - \frac{3}{3x-1} - 3 = 0 $
Общий знаменатель $ (x+1)(3x-1) $:
$ \frac{1(3x-1) - 3(x+1) - 3(x+1)(3x-1)}{(x+1)(3x-1)} = 0 $
Раскроем скобки в числителе:
$ 3x - 1 - 3x - 3 - 3(3x^2 - x + 3x - 1) = 0 $
$ -4 - 3(3x^2 + 2x - 1) = 0 $
$ -4 - 9x^2 - 6x + 3 = 0 $
$ -9x^2 - 6x - 1 = 0 $
Умножим на -1:
$ 9x^2 + 6x + 1 = 0 $
Это полный квадрат суммы:
$ (3x+1)^2 = 0 $
$ 3x+1 = 0 $
$ 3x = -1 $
$ x = -\frac{1}{3} $
Корень $ x = -\frac{1}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -1/3

3) Исходное уравнение: $ 1 + \frac{5x}{x+1} = \frac{6x+2}{(x+1)^2} $.
ОДЗ: $ x+1 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -1 $.
Перенесем все в левую часть:
$ 1 + \frac{5x}{x+1} - \frac{6x+2}{(x+1)^2} = 0 $
Общий знаменатель $ (x+1)^2 $:
$ \frac{1 \cdot (x+1)^2 + 5x(x+1) - (6x+2)}{(x+1)^2} = 0 $
Раскроем скобки в числителе:
$ (x^2 + 2x + 1) + (5x^2 + 5x) - 6x - 2 = 0 $
$ x^2 + 2x + 1 + 5x^2 + 5x - 6x - 2 = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 6x^2 + x - 1 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25 $.
$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1+5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $
$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1-5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -0.5; 1/3

4) Исходное уравнение: $ 2 + \frac{x}{x+2} = \frac{12-x}{(x+2)^2} $.
ОДЗ: $ x+2 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -2 $.
Перенесем все в левую часть:
$ 2 + \frac{x}{x+2} - \frac{12-x}{(x+2)^2} = 0 $
Общий знаменатель $ (x+2)^2 $:
$ \frac{2(x+2)^2 + x(x+2) - (12-x)}{(x+2)^2} = 0 $
Раскроем скобки в числителе:
$ 2(x^2 + 4x + 4) + x^2 + 2x - 12 + x = 0 $
$ 2x^2 + 8x + 8 + x^2 + 2x - 12 + x = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 3x^2 + 11x - 4 = 0 $
Решим квадратное уравнение: $ D = 11^2 - 4(3)(-4) = 121 + 48 = 169 $.
$ x_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11+13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
$ x_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11-13}{6} = \frac{-24}{6} = -4 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -4; 1/3

5) Исходное уравнение: $ \frac{3x}{x+2} + \frac{1}{x-2} = \frac{4}{x^2-4} $.
Заметим, что $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $.
ОДЗ: $ x \neq -2 $ и $ x \neq 2 $.
Приведем левую часть к общему знаменателю $ (x+2)(x-2) $:
$ \frac{3x(x-2) + 1(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{4}{(x+2)(x-2)} $
Так как знаменатели равны, приравняем числители (при условии соблюдения ОДЗ):
$ 3x(x-2) + 1(x+2) = 4 $
$ 3x^2 - 6x + x + 2 = 4 $
$ 3x^2 - 5x + 2 - 4 = 0 $
$ 3x^2 - 5x - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение: $ D = (-5)^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49 $.
$ x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5+7}{6} = \frac{12}{6} = 2 $
$ x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5-7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $
Проверим корни по ОДЗ. $ x_1 = 2 $ не является решением, так как не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в ноль). $ x_2 = -\frac{1}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -1/3

6) Исходное уравнение: $ \frac{2x}{x-3} - \frac{1}{x+3} = \frac{6}{x^2-9} $.
Заметим, что $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $.
ОДЗ: $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.
Приведем левую часть к общему знаменателю $ (x-3)(x+3) $:
$ \frac{2x(x+3) - 1(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{6}{(x-3)(x+3)} $
Приравняем числители:
$ 2x(x+3) - 1(x-3) = 6 $
$ 2x^2 + 6x - x + 3 = 6 $
$ 2x^2 + 5x + 3 - 6 = 0 $
$ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $
Решим квадратное уравнение: $ D = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 $.
$ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5+7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
$ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5-7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 $
Проверим корни по ОДЗ. $ x_1 = \frac{1}{2} $ удовлетворяет ОДЗ. $ x_2 = -3 $ не является решением, так как не входит в ОДЗ.
Ответ: 0.5

702. 1) $\frac{x}{x-3} + \frac{3}{x^2-5x+6} = \frac{3}{2-x};$

2) $\frac{3}{x-3} + \frac{3}{x^2-7x+12} = \frac{1-x}{x-4};$

3) $3 + \frac{5}{x-1} = \frac{2}{x+2};$

4) $5 + \frac{2}{x-2} = \frac{17}{x+3}.$

1) $\frac{x}{x-3} + \frac{3}{x^2-5x+6} = \frac{3}{2-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x^2 - 5x + 6 \neq 0$. Разложим квадратный трехчлен на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1=2$ и $x_2=3$. Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$, откуда $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

Преобразуем уравнение, подставив разложенный на множители знаменатель и заметив, что $2-x = -(x-2)$:

$\frac{x}{x-3} + \frac{3}{(x-2)(x-3)} = \frac{3}{-(x-2)}$

$\frac{x}{x-3} + \frac{3}{(x-2)(x-3)} = -\frac{3}{x-2}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x-3)$, чтобы избавиться от дробей:

$x(x-2) + 3 = -3(x-3)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 - 2x + 3 = -3x + 9$

$x^2 - 2x + 3x + 3 - 9 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$, $x \neq 3$).

Корень $x = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Ответ: $-3$.

2) $\frac{3}{x-3} + \frac{3}{x^2-7x+12} = \frac{1-x}{x-4}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x^2 - 7x + 12 \neq 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ по теореме Виета равны $x_1=3$ и $x_2=4$. Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq 4$.

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq 4$.

Перепишем уравнение с разложенным на множители знаменателем:

$\frac{3}{x-3} + \frac{3}{(x-3)(x-4)} = \frac{1-x}{x-4}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x-4)$:

$3(x-4) + 3 = (1-x)(x-3)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$3x - 12 + 3 = x - 3 - x^2 + 3x$

$3x - 9 = -x^2 + 4x - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 3x - 4x - 9 + 3 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$, $x \neq 4$).

Корень $x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Корень $x = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-2$.

3) $3 + \frac{5}{x-1} = \frac{2}{x+2}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -2$.

Общий знаменатель дробей: $(x-1)(x+2)$. Умножим на него обе части уравнения:

$3(x-1)(x+2) + 5(x+2) = 2(x-1)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$3(x^2 + 2x - x - 2) + 5x + 10 = 2x - 2$

$3(x^2 + x - 2) + 5x + 10 = 2x - 2$

$3x^2 + 3x - 6 + 5x + 10 = 2x - 2$

$3x^2 + 8x + 4 = 2x - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 + 8x - 2x + 4 + 2 = 0$

$3x^2 + 6x + 6 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Поскольку дискриминант $D < 0$, действительных корней у уравнения нет.

Ответ: корней нет.

4) $5 + \frac{2}{x-2} = \frac{17}{x+3}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель дробей: $(x-2)(x+3)$. Умножим на него обе части уравнения:

$5(x-2)(x+3) + 2(x+3) = 17(x-2)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$5(x^2 + 3x - 2x - 6) + 2x + 6 = 17x - 34$

$5(x^2 + x - 6) + 2x + 6 = 17x - 34$

$5x^2 + 5x - 30 + 2x + 6 = 17x - 34$

$5x^2 + 7x - 24 = 17x - 34$

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 + 7x - 17x - 24 + 34 = 0$

$5x^2 - 10x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 5 для упрощения:

$x^2 - 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Поскольку дискриминант $D < 0$, действительных корней у уравнения нет.

Ответ: корней нет.

703. Найти коэффициенты $p$ и $q$ квадратного трёхчлена $x^2+px+q$, если этот трёхчлен при $x=0$ принимает значение, равное $-14$, а при $x=-2$ принимает значение $-20$.

Пусть искомый квадратный трёхчлен имеет вид $f(x) = x^2 + px + q$.

Согласно первому условию, при $x=0$ значение трёхчлена равно -14. Подставим эти значения в выражение:
$f(0) = 0^2 + p \cdot 0 + q = -14$
$0 + 0 + q = -14$
Отсюда находим значение коэффициента $q$:
$q = -14$

Согласно второму условию, при $x=-2$ значение трёхчлена равно -20. Подставим $x=-2$ и найденное значение $q=-14$ в выражение:
$f(-2) = (-2)^2 + p \cdot (-2) + (-14) = -20$
Упростим полученное уравнение:
$4 - 2p - 14 = -20$
$-10 - 2p = -20$

Теперь решим это уравнение относительно $p$:
$-2p = -20 + 10$
$-2p = -10$
$p = \frac{-10}{-2}$
$p = 5$

Таким образом, мы нашли оба коэффициента.
Ответ: $p=5, q=-14$.

704. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 12x + 35;$

2) $x^2 - 5x - 36;$

3) $2x^2 + x - 3;$

4) $2x^2 - 3x - 5;$

5) $-5x^2 + 11x - 2;$

6) $-4x^2 - 10x + 6;$

7) $-\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27;$

8) $\frac{1}{5}x^2 + x - 10.$

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни можно найти через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1) $x^2 - 12x + 35$

Найдём корни уравнения $x^2 - 12x + 35 = 0$. Это приведённое квадратное уравнение ($a=1$). По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 12$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 35$. Отсюда корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

Подставляем корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 12x + 35 = 1 \cdot (x - 5)(x - 7) = (x - 5)(x - 7)$.

Ответ: $(x - 5)(x - 7)$.

2) $x^2 - 5x - 36$

Найдём корни уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = -36$. Отсюда корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$.

Либо через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$.

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}$.

$x_1 = \frac{18}{2} = 9$, $x_2 = \frac{-8}{2} = -4$.

Подставляем в формулу разложения:

$x^2 - 5x - 36 = (x - 9)(x - (-4)) = (x - 9)(x + 4)$.

Ответ: $(x - 9)(x + 4)$.

3) $2x^2 + x - 3$

Найдём корни уравнения $2x^2 + x - 3 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{4}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Подставляем в формулу разложения:

$2x^2 + x - 3 = 2(x - 1)(x - (-\frac{3}{2})) = 2(x - 1)(x + \frac{3}{2})$.

Внесём множитель 2 во вторую скобку: $(x - 1)(2x + 3)$.

Ответ: $(x - 1)(2x + 3)$.

4) $2x^2 - 3x - 5$

Найдём корни уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 7}{4}$.

$x_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$, $x_2 = \frac{-4}{4} = -1$.

Подставляем в формулу разложения:

$2x^2 - 3x - 5 = 2(x - \frac{5}{2})(x - (-1)) = 2(x - \frac{5}{2})(x + 1)$.

Внесём множитель 2 в первую скобку: $(2x - 5)(x + 1)$.

Ответ: $(2x - 5)(x + 1)$.

5) $-5x^2 + 11x - 2$

Найдём корни уравнения $-5x^2 + 11x - 2 = 0$.

$D = 11^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-2) = 121 - 40 = 81$.

$x_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot (-5)} = \frac{-11 \pm 9}{-10}$.

$x_1 = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5}$, $x_2 = \frac{-20}{-10} = 2$.

Подставляем в формулу разложения:

$-5x^2 + 11x - 2 = -5(x - \frac{1}{5})(x - 2)$.

Внесём множитель -5 в первую скобку: $(-5x + 1)(x - 2) = (1 - 5x)(x - 2)$.

Также можно внести множитель 5 в первую скобку, а -1 во вторую: $(5x-1)(2-x)$.

Ответ: $(1 - 5x)(x - 2)$ или $(5x-1)(2-x)$.

6) $-4x^2 - 10x + 6$

Сначала вынесем за скобки общий множитель $-2$:

$-4x^2 - 10x + 6 = -2(2x^2 + 5x - 3)$.

Теперь разложим на множители трёхчлен $2x^2 + 5x - 3$. Найдём корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$.

$x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-12}{4} = -3$.

Разложение для $2x^2 + 5x - 3$ равно $2(x - \frac{1}{2})(x - (-3)) = (2x - 1)(x + 3)$.

Возвращаемся к исходному выражению:

$-4x^2 - 10x + 6 = -2(2x - 1)(x + 3)$.

Ответ: $-2(2x - 1)(x + 3)$.

7) $-\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27$

Найдём корни уравнения $-\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27 = 0$. Умножим обе части на -3 для удобства: $x^2 - 24x - 81 = 0$.

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 576 + 324 = 900$.

$x_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{24 \pm 30}{2}$.

$x_1 = \frac{54}{2} = 27$, $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$.

Подставляем корни и исходный коэффициент $a = -\frac{1}{3}$ в формулу разложения:

$-\frac{1}{3}x^2 + 8x + 27 = -\frac{1}{3}(x - 27)(x - (-3)) = -\frac{1}{3}(x - 27)(x + 3)$.

Ответ: $-\frac{1}{3}(x - 27)(x + 3)$.

8) $\frac{1}{5}x^2 + x - 10$

Найдём корни уравнения $\frac{1}{5}x^2 + x - 10 = 0$. Умножим обе части на 5: $x^2 + 5x - 50 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -5$ и $x_1 \cdot x_2 = -50$. Отсюда корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -10$.

Подставляем корни и исходный коэффициент $a = \frac{1}{5}$ в формулу разложения:

$\frac{1}{5}x^2 + x - 10 = \frac{1}{5}(x - 5)(x - (-10)) = \frac{1}{5}(x - 5)(x + 10)$.

Ответ: $\frac{1}{5}(x - 5)(x + 10)$.