Страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

659. Решить неравенство:

1) $x+4>3-2x;$

2) $5(y+2) \geq 8-(2-3y);$

3) $2(0.4+x)-2.8 \geq 2.3+3x;$

4) $7(x+5)+10>17;$

5) $\frac{3-x}{2} + \frac{x}{4} > 7;$

6) $\frac{x}{6} - \frac{2-x}{3} \leq 5.$

1) $x+4>3-2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а числовые слагаемые — в правую, изменяя знаки на противоположные:

$x+2x > 3-4$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$3x > -1$

Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x > -\frac{1}{3}$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $(-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x > -\frac{1}{3}$

2) $5(y+2) \ge 8-(2-3y)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$5y+10 \ge 8-2+3y$

Упростим правую часть:

$5y+10 \ge 6+3y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5y-3y \ge 6-10$

Приведем подобные слагаемые:

$2y \ge -4$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется:

$y \ge -2$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $[-2; +\infty)$.

Ответ: $y \ge -2$

3) $2(0,4+x)-2,8 \ge 2,3+3x$

Раскроем скобки в левой части:

$0,8+2x-2,8 \ge 2,3+3x$

Упростим левую часть:

$2x-2 \ge 2,3+3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые — в правую:

$2x-3x \ge 2,3+2$

Приведем подобные слагаемые:

$-x \ge 4,3$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -4,3$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $(-\infty; -4,3]$.

Ответ: $x \le -4,3$

4) $7(x+5)+10 > 17$

Раскроем скобки в левой части:

$7x+35+10 > 17$

Упростим левую часть:

$7x+45 > 17$

Перенесем числовое слагаемое 45 в правую часть:

$7x > 17-45$

$7x > -28$

Разделим обе части на 7. Знак неравенства не меняется:

$x > -4$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $(-4; +\infty)$.

Ответ: $x > -4$

5) $\frac{3-x}{2} + \frac{x}{4} > 7$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 4:

$4 \cdot \frac{3-x}{2} + 4 \cdot \frac{x}{4} > 4 \cdot 7$

$2(3-x) + x > 28$

Раскроем скобки:

$6 - 2x + x > 28$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$6 - x > 28$

Перенесем число 6 в правую часть:

$-x > 28 - 6$

$-x > 22$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x < -22$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $(-\infty; -22)$.

Ответ: $x < -22$

6) $\frac{x}{6} - \frac{2-x}{3} \le 5$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot \frac{x}{6} - 6 \cdot \frac{2-x}{3} \le 6 \cdot 5$

$x - 2(2-x) \le 30$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед дробью:

$x - 4 + 2x \le 30$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x - 4 \le 30$

Перенесем число -4 в правую часть:

$3x \le 30 + 4$

$3x \le 34$

Разделим обе части на 3:

$x \le \frac{34}{3}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $x \le 11\frac{1}{3}$.

Решение можно записать в виде числового промежутка: $(-\infty; \frac{34}{3}]$.

Ответ: $x \le \frac{34}{3}$

660. Какие целые значения может принимать x, если:

1) $0 \le x \le 7,2;$

2) $-5\frac{1}{3} \le x \le 0;$

3) $4 < \frac{1}{3}x < 5;$

4) $11 < 3x < 13?$

1) Дано двойное неравенство $0 \le x \le 7,2$. Требуется найти все целые значения $x$, которые удовлетворяют этому условию.

Это означает, что $x$ должен быть больше или равен 0 и одновременно меньше или равен 7,2.

Перечислим все целые числа в этом промежутке, начиная с 0. Самое большое целое число, которое меньше или равно 7,2, это 7.

Таким образом, целые значения $x$ это: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

2) Дано двойное неравенство $-5\frac{1}{3} \le x \le 0$. Требуется найти все целые значения $x$, которые удовлетворяют этому условию.

Это означает, что $x$ должен быть больше или равен $-5\frac{1}{3}$ и одновременно меньше или равен 0.

Представим $-5\frac{1}{3}$ в виде десятичной дроби: $-5,333...$. Самое маленькое целое число, которое больше или равно $-5\frac{1}{3}$, это -5.

Перечислим все целые числа в этом промежутке, начиная с -5 и заканчивая 0.

Таким образом, целые значения $x$ это: -5, -4, -3, -2, -1, 0.

Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0.

3) Дано двойное неравенство $4 < \frac{1}{3}x < 5$. Требуется найти все целые значения $x$, которые удовлетворяют этому условию.

Сначала выразим $x$. Для этого умножим все три части неравенства на 3:

$4 \cdot 3 < (\frac{1}{3}x) \cdot 3 < 5 \cdot 3$

$12 < x < 15$

Теперь нам нужно найти все целые числа, которые строго больше 12 и строго меньше 15.

Такими числами являются 13 и 14.

Ответ: 13, 14.

4) Дано двойное неравенство $11 < 3x < 13$. Требуется найти все целые значения $x$, которые удовлетворяют этому условию.

Сначала выразим $x$. Для этого разделим все три части неравенства на 3:

$\frac{11}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{13}{3}$

$\frac{11}{3} < x < \frac{13}{3}$

Чтобы было легче найти целые значения, представим неправильные дроби в виде смешанных чисел:

$3\frac{2}{3} < x < 4\frac{1}{3}$

Теперь нам нужно найти целое число, которое строго больше $3\frac{2}{3}$ и строго меньше $4\frac{1}{3}$.

Единственное целое число, которое находится в этом интервале, это 4.

Ответ: 4.

661. Решить систему уравнений (подстановкой, сложением или графически):

1) $\begin{cases} 0,3x - 0,5y = 1 \\ 0,5x + 0,2y = 5,8 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2(x + y) = (x - y) + 5 \\ 3(x + y) = (x - y) + 8 \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{x}{3} = \frac{y}{2} + 1 \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 2 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - \frac{y}{2} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{5}y = 1 \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 6 \\ \frac{2x}{3} - \frac{y}{3} = 1 \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \end{cases}$

7) $\begin{cases} 4x - 9y = -24 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$

8) $\begin{cases} 5x + 4y = 13 \\ 3x + 5y = 13 \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 0.3x - 0.5y = 1 \\ 0.5x + 0.2y = 5.8 \end{cases} $$

Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$$ \begin{cases} 10 \cdot (0.3x - 0.5y) = 10 \cdot 1 \\ 10 \cdot (0.5x + 0.2y) = 10 \cdot 5.8 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x - 5y = 10 \\ 5x + 2y = 58 \end{cases} $$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 2(3x - 5y) = 2 \cdot 10 \\ 5(5x + 2y) = 5 \cdot 58 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x - 10y = 20 \\ 25x + 10y = 290 \end{cases} $$

Сложим два полученных уравнения:

$(6x - 10y) + (25x + 10y) = 20 + 290$

$31x = 310$

$x = 10$

Подставим значение $x = 10$ в уравнение $3x - 5y = 10$:

$3(10) - 5y = 10$

$30 - 5y = 10$

$-5y = 10 - 30$

$-5y = -20$

$y = 4$

Ответ: $(10; 4)$

2) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2(x + y) = (x - y) + 5 \\ 3(x + y) = (x - y) + 8 \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

Первое уравнение: $2x + 2y = x - y + 5 \implies 2x - x + 2y + y = 5 \implies x + 3y = 5$

Второе уравнение: $3x + 3y = x - y + 8 \implies 3x - x + 3y + y = 8 \implies 2x + 4y = 8$. Разделим на 2: $x + 2y = 4$.

Получили упрощенную систему:

$$ \begin{cases} x + 3y = 5 \\ x + 2y = 4 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + 3y) - (x + 2y) = 5 - 4$

$y = 1$

Подставим $y = 1$ в уравнение $x + 2y = 4$:

$x + 2(1) = 4$

$x + 2 = 4$

$x = 2$

Ответ: $(2; 1)$

3) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{3} = \frac{y}{2} + 1 \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 2 \end{cases} $$

Избавимся от знаменателей. Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное для 3 и 2), а второе на 24 (наименьшее общее кратное для 6 и 8):

$$ \begin{cases} 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot \frac{y}{2} + 6 \cdot 1 \\ 24 \cdot \frac{x}{6} + 24 \cdot \frac{y}{8} = 24 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x = 3y + 6 \\ 4x + 3y = 48 \end{cases} $$

Приведем систему к стандартному виду:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 4x + 3y = 48 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, так как коэффициенты при $y$ противоположны:

$(2x - 3y) + (4x + 3y) = 6 + 48$

$6x = 54$

$x = 9$

Подставим $x = 9$ в уравнение $2x - 3y = 6$:

$2(9) - 3y = 6$

$18 - 3y = 6$

$-3y = 6 - 18$

$-3y = -12$

$y = 4$

Ответ: $(9; 4)$

4) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - \frac{y}{2} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{5}y = 1 \end{cases} $$

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 15 (НОК для 3 и 5):

$$ \begin{cases} 4x - 2y = 1 \\ 5x - 3y = 15 \end{cases} $$

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$$ \begin{cases} 3(4x - 2y) = 3 \cdot 1 \\ -2(5x - 3y) = -2 \cdot 15 \end{cases} \implies \begin{cases} 12x - 6y = 3 \\ -10x + 6y = -30 \end{cases} $$

Сложим полученные уравнения:

$(12x - 6y) + (-10x + 6y) = 3 - 30$

$2x = -27$

$x = -13.5$

Подставим $x = -13.5$ в уравнение $4x - 2y = 1$:

$4(-13.5) - 2y = 1$

$-54 - 2y = 1$

$-2y = 55$

$y = -27.5$

Ответ: $(-13.5; -27.5)$

5) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 6 \\ \frac{2x}{3} - \frac{y}{3} = 1 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 6, а второе на 3:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 36 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $$

Решим методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 2x - 3$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x + 2(2x - 3) = 36$

$3x + 4x - 6 = 36$

$7x = 42$

$x = 6$

Найдем $y$:

$y = 2(6) - 3 = 12 - 3 = 9$

Ответ: $(6; 9)$

6) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \end{cases} $$

Умножим оба уравнения на 6:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 30 \\ 3x - 2y = 6 \end{cases} $$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:

$$ \begin{cases} 4x + 6y = 60 \\ 9x - 6y = 18 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$(4x + 6y) + (9x - 6y) = 60 + 18$

$13x = 78$

$x = 6$

Подставим $x = 6$ в уравнение $2x + 3y = 30$:

$2(6) + 3y = 30$

$12 + 3y = 30$

$3y = 18$

$y = 6$

Ответ: $(6; 6)$

7) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 4x - 9y = -24 \\ 2x - y = 2 \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 2x - 2$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4x - 9(2x - 2) = -24$

$4x - 18x + 18 = -24$

$-14x = -42$

$x = 3$

Найдем $y$:

$y = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$

Ответ: $(3; 4)$

8) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 4y = 13 \\ 3x + 5y = 13 \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$5x + 4y = 3x + 5y$

$5x - 3x = 5y - 4y$

$2x = y$

Теперь подставим $y = 2x$ в первое уравнение системы:

$5x + 4(2x) = 13$

$5x + 8x = 13$

$13x = 13$

$x = 1$

Найдем $y$:

$y = 2x = 2(1) = 2$

Ответ: $(1; 2)$

662. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases} 5x - 2 \ge 6x - 1, \\ 4 - 3x > 2x - 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7(x + 1) - 2x > 9 - 4x, \\ 3(5 - 2x) - 1 \ge 4 - 5x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 12x - 3(x + 2) \ge 7x - 5, \\ 13x + 6 \le (x - 5) \cdot 2 + 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{4x - 5}{7} < \frac{3x - 8}{4}, \\ \frac{6 - x}{5} - 1 < \frac{14x - 3}{2}. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:$\begin{cases} 5x - 2 \ge 6x - 1, \\4 - 3x > 2x - 6;\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство:
$5x - 2 \ge 6x - 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$5x - 6x \ge -1 + 2$
$-x \ge 1$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \le -1$

Теперь решим второе неравенство:
$4 - 3x > 2x - 6$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$-3x - 2x > -6 - 4$
$-5x > -10$
Разделим обе части на -5 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x < 2$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. На числовой прямой это будет пересечение множеств $x \le -1$ и $x < 2$. Общим решением является $x \le -1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

2) Решим систему неравенств:$\begin{cases} 7(x + 1) - 2x > 9 - 4x, \\3(5 - 2x) - 1 \ge 4 - 5x;\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство:
$7(x + 1) - 2x > 9 - 4x$
Раскроем скобки:
$7x + 7 - 2x > 9 - 4x$
Приведем подобные слагаемые:
$5x + 7 > 9 - 4x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$5x + 4x > 9 - 7$
$9x > 2$
$x > \frac{2}{9}$

Теперь решим второе неравенство:
$3(5 - 2x) - 1 \ge 4 - 5x$
Раскроем скобки:
$15 - 6x - 1 \ge 4 - 5x$
Приведем подобные слагаемые:
$14 - 6x \ge 4 - 5x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$-6x + 5x \ge 4 - 14$
$-x \ge -10$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$x \le 10$

Решением системы является пересечение решений $x > \frac{2}{9}$ и $x \le 10$.
Ответ: $x \in (\frac{2}{9}, 10]$.

3) Решим систему неравенств:$\begin{cases} 12x - 3(x + 2) \ge 7x - 5, \\13x + 6 \le (x - 5) \cdot 2 + 3;\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство:
$12x - 3(x + 2) \ge 7x - 5$
$12x - 3x - 6 \ge 7x - 5$
$9x - 6 \ge 7x - 5$
$9x - 7x \ge -5 + 6$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$

Теперь решим второе неравенство:
$13x + 6 \le (x - 5) \cdot 2 + 3$
$13x + 6 \le 2x - 10 + 3$
$13x + 6 \le 2x - 7$
$13x - 2x \le -7 - 6$
$11x \le -13$
$x \le -\frac{13}{11}$

Мы получили два условия: $x \ge \frac{1}{2}$ и $x \le -\frac{13}{11}$. Поскольку $\frac{1}{2} > 0$, а $-\frac{13}{11} < 0$, не существует такого числа $x$, которое удовлетворяло бы обоим условиям одновременно. Следовательно, у системы нет решений.
Ответ: решений нет.

4) Решим систему неравенств:$\begin{cases} \frac{4x - 5}{7} < \frac{3x - 8}{4}, \\\frac{6 - x}{5} - 1 < \frac{14x - 3}{2};\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство. Для избавления от дробей умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 7 и 4, то есть на 28:
$28 \cdot \frac{4x - 5}{7} < 28 \cdot \frac{3x - 8}{4}$
$4(4x - 5) < 7(3x - 8)$
$16x - 20 < 21x - 56$
$56 - 20 < 21x - 16x$
$36 < 5x$
$x > \frac{36}{5}$

Теперь решим второе неравенство. Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2, то есть на 10:
$10 \left(\frac{6 - x}{5} - 1\right) < 10 \cdot \frac{14x - 3}{2}$
$2(6 - x) - 10 < 5(14x - 3)$
$12 - 2x - 10 < 70x - 15$
$2 - 2x < 70x - 15$
$2 + 15 < 70x + 2x$
$17 < 72x$
$x > \frac{17}{72}$

Решением системы является пересечение решений $x > \frac{36}{5}$ и $x > \frac{17}{72}$. Сравним дроби: $\frac{36}{5} = 7.2$, а $\frac{17}{72} \approx 0.236$. Так как $x$ должен быть больше обоих чисел, выбираем более сильное ограничение: $x > \frac{36}{5}$.
Ответ: $x \in (\frac{36}{5}, +\infty)$.

663. Найти целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:

1) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{2x - 5}{4} - 2 \le \frac{3 - x}{3}, \\ \frac{5x + 1}{5} > \frac{4 - x}{4} \end{array} \right.$

2) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{10x - 1}{3} - \frac{2 - 5x}{4} < \frac{5 - 3x}{6}, \\ \frac{2x + 1}{2} \ge \frac{3 + 7x}{4} - \frac{5 + 4x}{5} \end{array} \right.$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$ \frac{2x - 5}{4} - 2 \le \frac{3 - x}{3} $

Сначала упростим левую часть, приведя к общему знаменателю 4:

$ \frac{2x - 5 - 2 \cdot 4}{4} \le \frac{3 - x}{3} $

$ \frac{2x - 13}{4} \le \frac{3 - x}{3} $

Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12. Так как 12 > 0, знак неравенства не меняется.

$ 12 \cdot \frac{2x - 13}{4} \le 12 \cdot \frac{3 - x}{3} $

$ 3(2x - 13) \le 4(3 - x) $

Раскроем скобки:

$ 6x - 39 \le 12 - 4x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$ 6x + 4x \le 12 + 39 $

$ 10x \le 51 $

$ x \le \frac{51}{10} $

$ x \le 5.1 $

Второе неравенство:

$ \frac{5x + 1}{5} > \frac{4 - x}{4} $

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4, то есть на 20. Знак неравенства не меняется.

$ 20 \cdot \frac{5x + 1}{5} > 20 \cdot \frac{4 - x}{4} $

$ 4(5x + 1) > 5(4 - x) $

Раскроем скобки:

$ 20x + 4 > 20 - 5x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$ 20x + 5x > 20 - 4 $

$ 25x > 16 $

$ x > \frac{16}{25} $

$ x > 0.64 $

Мы получили систему из двух решений: $ \begin{cases} x \le 5.1 \\ x > 0.64 \end{cases} $. Это соответствует промежутку $ (0.64; 5.1] $.

Найдем целые числа, которые принадлежат этому промежутку. Это числа 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$ \frac{10x - 1}{3} - \frac{2 - 5x}{4} < \frac{5 - 3x}{6} $

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4 и 6, то есть на 12. Знак неравенства не меняется.

$ 12 \cdot \frac{10x - 1}{3} - 12 \cdot \frac{2 - 5x}{4} < 12 \cdot \frac{5 - 3x}{6} $

$ 4(10x - 1) - 3(2 - 5x) < 2(5 - 3x) $

Раскроем скобки:

$ 40x - 4 - 6 + 15x < 10 - 6x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 55x - 10 < 10 - 6x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$ 55x + 6x < 10 + 10 $

$ 61x < 20 $

$ x < \frac{20}{61} $

Второе неравенство:

$ \frac{2x + 1}{2} \ge \frac{3 + 7x}{4} - \frac{5 + 4x}{5} $

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 5, то есть на 20. Знак неравенства не меняется.

$ 20 \cdot \frac{2x + 1}{2} \ge 20 \cdot \frac{3 + 7x}{4} - 20 \cdot \frac{5 + 4x}{5} $

$ 10(2x + 1) \ge 5(3 + 7x) - 4(5 + 4x) $

Раскроем скобки:

$ 20x + 10 \ge 15 + 35x - 20 - 16x $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 20x + 10 \ge (35x - 16x) + (15 - 20) $

$ 20x + 10 \ge 19x - 5 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$ 20x - 19x \ge -5 - 10 $

$ x \ge -15 $

Мы получили систему из двух решений: $ \begin{cases} x < \frac{20}{61} \\ x \ge -15 \end{cases} $. Это соответствует промежутку $ [-15; \frac{20}{61}) $.

Так как $0 < \frac{20}{61} < 1$, целыми решениями являются все целые числа от -15 до 0 включительно.

Ответ: -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.

664. Решить уравнение:

1) $|x - 2| = 3.4;$

2) $|3 - x| = 5.1;$

3) $|2x + 1| = 5;$

4) $|1 - 2x| = 7;$

5) $|3x + 2| = 5;$

6) $|7x - 3| = 3.$

1) $|x - 2| = 3,4$

Уравнение вида $|A| = B$, где $B \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Применяя это правило, получаем два случая:

$x - 2 = 3,4$ или $x - 2 = -3,4$
$x = 3,4 + 2$ или $x = -3,4 + 2$
$x_1 = 5,4$ или $x_2 = -1,4$

Ответ: -1,4; 5,4.

2) $|3 - x| = 5,1$

Раскрываем модуль, рассматривая два возможных случая:

$3 - x = 5,1$ или $3 - x = -5,1$
$-x = 5,1 - 3$ или $-x = -5,1 - 3$
$-x = 2,1$ или $-x = -8,1$
$x_1 = -2,1$ или $x_2 = 8,1$

Ответ: -2,1; 8,1.

3) $|2x + 1| = 5$

Раскрываем модуль, рассматривая два возможных случая:

$2x + 1 = 5$ или $2x + 1 = -5$
$2x = 5 - 1$ или $2x = -5 - 1$
$2x = 4$ или $2x = -6$
$x_1 = 2$ или $x_2 = -3$

Ответ: -3; 2.

4) $|1 - 2x| = 7$

Раскрываем модуль, рассматривая два возможных случая:

$1 - 2x = 7$ или $1 - 2x = -7$
$-2x = 7 - 1$ или $-2x = -7 - 1$
$-2x = 6$ или $-2x = -8$
$x_1 = -3$ или $x_2 = 4$

Ответ: -3; 4.

5) $|3x + 2| = 5$

Раскрываем модуль, рассматривая два возможных случая:

$3x + 2 = 5$ или $3x + 2 = -5$
$3x = 5 - 2$ или $3x = -5 - 2$
$3x = 3$ или $3x = -7$
$x_1 = 1$ или $x_2 = -\frac{7}{3}$

Ответ: $-\frac{7}{3}$; 1.

6) $|7x - 3| = 3$

Раскрываем модуль, рассматривая два возможных случая:

$7x - 3 = 3$ или $7x - 3 = -3$
$7x = 3 + 3$ или $7x = -3 + 3$
$7x = 6$ или $7x = 0$
$x_1 = \frac{6}{7}$ или $x_2 = 0$

Ответ: 0; $\frac{6}{7}$.