Номер 661, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 661, страница 258.

Условие.

661. Решить систему уравнений (подстановкой, сложением или графически):

1) $\begin{cases} 0,3x - 0,5y = 1 \\ 0,5x + 0,2y = 5,8 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2(x + y) = (x - y) + 5 \\ 3(x + y) = (x - y) + 8 \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{x}{3} = \frac{y}{2} + 1 \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 2 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - \frac{y}{2} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{5}y = 1 \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 6 \\ \frac{2x}{3} - \frac{y}{3} = 1 \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \end{cases}$

7) $\begin{cases} 4x - 9y = -24 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$

8) $\begin{cases} 5x + 4y = 13 \\ 3x + 5y = 13 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 0.3x - 0.5y = 1 \\ 0.5x + 0.2y = 5.8 \end{cases} $$

Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$$ \begin{cases} 10 \cdot (0.3x - 0.5y) = 10 \cdot 1 \\ 10 \cdot (0.5x + 0.2y) = 10 \cdot 5.8 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x - 5y = 10 \\ 5x + 2y = 58 \end{cases} $$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 2(3x - 5y) = 2 \cdot 10 \\ 5(5x + 2y) = 5 \cdot 58 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x - 10y = 20 \\ 25x + 10y = 290 \end{cases} $$

Сложим два полученных уравнения:

$(6x - 10y) + (25x + 10y) = 20 + 290$

$31x = 310$

$x = 10$

Подставим значение $x = 10$ в уравнение $3x - 5y = 10$:

$3(10) - 5y = 10$

$30 - 5y = 10$

$-5y = 10 - 30$

$-5y = -20$

$y = 4$

Ответ: $(10; 4)$

2) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2(x + y) = (x - y) + 5 \\ 3(x + y) = (x - y) + 8 \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

Первое уравнение: $2x + 2y = x - y + 5 \implies 2x - x + 2y + y = 5 \implies x + 3y = 5$

Второе уравнение: $3x + 3y = x - y + 8 \implies 3x - x + 3y + y = 8 \implies 2x + 4y = 8$. Разделим на 2: $x + 2y = 4$.

Получили упрощенную систему:

$$ \begin{cases} x + 3y = 5 \\ x + 2y = 4 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + 3y) - (x + 2y) = 5 - 4$

$y = 1$

Подставим $y = 1$ в уравнение $x + 2y = 4$:

$x + 2(1) = 4$

$x + 2 = 4$

$x = 2$

Ответ: $(2; 1)$

3) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{3} = \frac{y}{2} + 1 \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 2 \end{cases} $$

Избавимся от знаменателей. Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное для 3 и 2), а второе на 24 (наименьшее общее кратное для 6 и 8):

$$ \begin{cases} 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot \frac{y}{2} + 6 \cdot 1 \\ 24 \cdot \frac{x}{6} + 24 \cdot \frac{y}{8} = 24 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x = 3y + 6 \\ 4x + 3y = 48 \end{cases} $$

Приведем систему к стандартному виду:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 4x + 3y = 48 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, так как коэффициенты при $y$ противоположны:

$(2x - 3y) + (4x + 3y) = 6 + 48$

$6x = 54$

$x = 9$

Подставим $x = 9$ в уравнение $2x - 3y = 6$:

$2(9) - 3y = 6$

$18 - 3y = 6$

$-3y = 6 - 18$

$-3y = -12$

$y = 4$

Ответ: $(9; 4)$

4) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - \frac{y}{2} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{5}y = 1 \end{cases} $$

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 15 (НОК для 3 и 5):

$$ \begin{cases} 4x - 2y = 1 \\ 5x - 3y = 15 \end{cases} $$

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$$ \begin{cases} 3(4x - 2y) = 3 \cdot 1 \\ -2(5x - 3y) = -2 \cdot 15 \end{cases} \implies \begin{cases} 12x - 6y = 3 \\ -10x + 6y = -30 \end{cases} $$

Сложим полученные уравнения:

$(12x - 6y) + (-10x + 6y) = 3 - 30$

$2x = -27$

$x = -13.5$

Подставим $x = -13.5$ в уравнение $4x - 2y = 1$:

$4(-13.5) - 2y = 1$

$-54 - 2y = 1$

$-2y = 55$

$y = -27.5$

Ответ: $(-13.5; -27.5)$

5) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 6 \\ \frac{2x}{3} - \frac{y}{3} = 1 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 6, а второе на 3:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 36 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $$

Решим методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 2x - 3$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x + 2(2x - 3) = 36$

$3x + 4x - 6 = 36$

$7x = 42$

$x = 6$

Найдем $y$:

$y = 2(6) - 3 = 12 - 3 = 9$

Ответ: $(6; 9)$

6) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \end{cases} $$

Умножим оба уравнения на 6:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 30 \\ 3x - 2y = 6 \end{cases} $$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:

$$ \begin{cases} 4x + 6y = 60 \\ 9x - 6y = 18 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$(4x + 6y) + (9x - 6y) = 60 + 18$

$13x = 78$

$x = 6$

Подставим $x = 6$ в уравнение $2x + 3y = 30$:

$2(6) + 3y = 30$

$12 + 3y = 30$

$3y = 18$

$y = 6$

Ответ: $(6; 6)$

7) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 4x - 9y = -24 \\ 2x - y = 2 \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 2x - 2$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4x - 9(2x - 2) = -24$

$4x - 18x + 18 = -24$

$-14x = -42$

$x = 3$

Найдем $y$:

$y = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$

Ответ: $(3; 4)$

8) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 4y = 13 \\ 3x + 5y = 13 \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$5x + 4y = 3x + 5y$

$5x - 3x = 5y - 4y$

$2x = y$

Теперь подставим $y = 2x$ в первое уравнение системы:

$5x + 4(2x) = 13$

$5x + 8x = 13$

$13x = 13$

$x = 1$

Найдем $y$:

$y = 2x = 2(1) = 2$

Ответ: $(1; 2)$