Номер 665, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 665, страница 259.

Условие.

665. Решить неравенство:

1) $|x-2| \leq 5.4;$

2) $|x-2| \geq 5.4;$

3) $|2-x| < 5.4;$

4) $|3x+2| \geq 5;$

5) $|2x+3| < 5;$

6) $|3x-2.8| \geq 3.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $|x-2| \le 5,4$

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применяя это правило к исходному неравенству, получаем:

$-5,4 \le x - 2 \le 5,4$

Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-5,4 + 2 \le x - 2 + 2 \le 5,4 + 2$

$-3,4 \le x \le 7,4$

Решение в виде промежутка: $x \in [-3,4; 7,4]$.

Ответ: $x \in [-3,4; 7,4]$.

2) $|x-2| \ge 5,4$

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$x - 2 \ge 5,4$ или $x - 2 \le -5,4$

Решаем первое неравенство:

$x \ge 5,4 + 2$

$x \ge 7,4$

Решаем второе неравенство:

$x \le -5,4 + 2$

$x \le -3,4$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -3,4] \cup [7,4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3,4] \cup [7,4; +\infty)$.

3) $|2-x| < 5,4$

Используем свойство модуля $|a| = |-a|$, поэтому $|2-x| = |-(x-2)| = |x-2|$.

Неравенство принимает вид: $|x-2| < 5,4$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

$-5,4 < x - 2 < 5,4$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-5,4 + 2 < x - 2 + 2 < 5,4 + 2$

$-3,4 < x < 7,4$

Решение в виде промежутка: $x \in (-3,4; 7,4)$.

Ответ: $x \in (-3,4; 7,4)$.

4) $|3x+2| \ge 5$

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$3x + 2 \ge 5$ или $3x + 2 \le -5$

Решаем первое неравенство:

$3x \ge 5 - 2$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

Решаем второе неравенство:

$3x \le -5 - 2$

$3x \le -7$

$x \le -\frac{7}{3}$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -\frac{7}{3}] \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2\frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$.

5) $|2x+3| < 5$

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применяя это правило, получаем:

$-5 < 2x + 3 < 5$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-5 - 3 < 2x + 3 - 3 < 5 - 3$

$-8 < 2x < 2$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{-8}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{2}{2}$

$-4 < x < 1$

Решение в виде промежутка: $x \in (-4; 1)$.

Ответ: $x \in (-4; 1)$.

6) $|3x - 2,8| \ge 3$

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$3x - 2,8 \ge 3$ или $3x - 2,8 \le -3$

Решаем первое неравенство:

$3x \ge 3 + 2,8$

$3x \ge 5,8$

$x \ge \frac{5,8}{3} \implies x \ge \frac{58}{30} \implies x \ge \frac{29}{15}$

Решаем второе неравенство:

$3x \le -3 + 2,8$

$3x \le -0,2$

$x \le \frac{-0,2}{3} \implies x \le -\frac{2}{30} \implies x \le -\frac{1}{15}$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -\frac{1}{15}] \cup [\frac{29}{15}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{15}] \cup [\frac{29}{15}; +\infty)$.