Номер 695, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 695, страница 262.

Условие.

695. 1) $ \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{9}{16} = 0; $

2) $ \frac{5}{4}x^2 - x + \frac{1}{9} = 0; $

3) $ \frac{3x^2 - 11}{8} + \frac{74 - 2x^2}{12} = 10. $

Решение 3.

Решение 4.

1) Исходное уравнение: $\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{9}{16} = 0$.Это квадратное уравнение, левая часть которого является полным квадратом суммы. Проверим это.Первый член $\frac{1}{9}x^2$ является квадратом выражения $\frac{1}{3}x$, то есть $(\frac{1}{3}x)^2$.Третий член $\frac{9}{16}$ является квадратом числа $\frac{3}{4}$, то есть $(\frac{3}{4})^2$.Средний член должен быть удвоенным произведением этих выражений: $2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{3}{4}) = \frac{6}{12}x = \frac{1}{2}x$. Это совпадает со средним членом в уравнении.Следовательно, уравнение можно записать в виде:$(\frac{1}{3}x + \frac{3}{4})^2 = 0$Из этого следует, что выражение в скобках равно нулю:$\frac{1}{3}x + \frac{3}{4} = 0$Перенесем $\frac{3}{4}$ в правую часть уравнения, изменив знак:$\frac{1}{3}x = -\frac{3}{4}$Чтобы найти $x$, умножим обе части на 3:$x = -\frac{3}{4} \cdot 3 = -\frac{9}{4}$Можно представить ответ в виде десятичной дроби: $x = -2.25$.Ответ: $x = -\frac{9}{4}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{5}{4}x^2 - x + \frac{1}{9} = 0$.Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a = \frac{5}{4}$, $b = -1$, $c = \frac{1}{9}$.Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{20}{36} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \frac{2}{3}}{2 \cdot \frac{5}{4}} = \frac{1 \pm \frac{2}{3}}{\frac{10}{4}} = \frac{1 \pm \frac{2}{3}}{\frac{5}{2}}$Найдем каждый корень отдельно:$x_1 = \frac{1 + \frac{2}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$x_2 = \frac{1 - \frac{2}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = \frac{2}{15}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{3x^2 - 11}{8} + \frac{74 - 2x^2}{12} = 10$.Для решения этого уравнения сначала избавимся от знаменателей. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 8 и 12. НОК(8, 12) = 24.Умножим обе части уравнения на 24:$24 \cdot \left(\frac{3x^2 - 11}{8}\right) + 24 \cdot \left(\frac{74 - 2x^2}{12}\right) = 10 \cdot 24$Выполним сокращение:$3(3x^2 - 11) + 2(74 - 2x^2) = 240$Раскроем скобки:$9x^2 - 33 + 148 - 4x^2 = 240$Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:$(9x^2 - 4x^2) + (148 - 33) = 240$$5x^2 + 115 = 240$Перенесем 115 в правую часть с противоположным знаком:$5x^2 = 240 - 115$$5x^2 = 125$Разделим обе части на 5:$x^2 = \frac{125}{5}$$x^2 = 25$Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:$x = \pm\sqrt{25}$$x_1 = 5, x_2 = -5$Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -5$.