Номер 691, страница 261 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 691, страница 261.

Условие.

691. Прямоугольник, одна сторона которого на 2 см больше другой, имеет площадь, равную площади квадрата со стороной, на 4 см меньшей периметра прямоугольника. Найти стороны прямоугольника.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см. Тогда, согласно условию, другая сторона равна $(x+2)$ см. Длина стороны фигуры должна быть положительной, поэтому $x > 0$.

Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется как произведение его сторон:

$S_{пр} = x(x+2) = x^2 + 2x$ см$^2$.

Периметр прямоугольника ($P_{пр}$) равен удвоенной сумме его смежных сторон:

$P_{пр} = 2(x + (x+2)) = 2(2x+2) = 4x+4$ см.

По условию, сторона квадрата ($a_{кв}$) на 4 см меньше периметра прямоугольника:

$a_{кв} = P_{пр} - 4 = (4x+4) - 4 = 4x$ см.

Площадь квадрата ($S_{кв}$) равна квадрату его стороны:

$S_{кв} = (a_{кв})^2 = (4x)^2 = 16x^2$ см$^2$.

В задаче сказано, что площадь прямоугольника равна площади квадрата, т.е. $S_{пр} = S_{кв}$. Составим и решим уравнение:

$x(x+2) = 16x^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x = 16x^2$

$16x^2 - x^2 - 2x = 0$

$15x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки, чтобы найти корни уравнения:

$x(15x - 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$15x - 2 = 0 \implies 15x = 2 \implies x_2 = \frac{2}{15}$

Поскольку $x$ - это длина стороны прямоугольника, она не может быть равна нулю ($x>0$). Следовательно, корень $x_1 = 0$ не является решением задачи.

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна $x = \frac{2}{15}$ см.

Найдем вторую, большую сторону:

$x+2 = \frac{2}{15} + 2 = \frac{2}{15} + \frac{30}{15} = \frac{32}{15}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны $\frac{2}{15}$ см и $\frac{32}{15}$ см.