Номер 687, страница 261 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 687, страница 261.

Условие.

687. Упростить выражение:

1) $2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} + 3\sqrt{22} - \sqrt{50};$

2) $3\sqrt{20} - \sqrt{45} + 3\sqrt{18} + \sqrt{72} - \sqrt{80};$

3) $5\sqrt{a} - 3\sqrt{4a} + 2\sqrt{9a}$, где $a > 0;$

4) $\sqrt{x^3} + \frac{1}{2}\sqrt{36x^3} - \frac{2x}{3}\sqrt{9x}$, где $x > 0.$

Решение 3.

Решение 4.

1) Для упрощения выражения $2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} + 3\sqrt{32} - \sqrt{50}$ необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

Упростим каждый член выражения:
$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$3\sqrt{32} = 3\sqrt{16 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 12\sqrt{2} - 5\sqrt{2}$

Все слагаемые содержат $\sqrt{2}$, поэтому мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:
$(6 + 6 + 12 - 5)\sqrt{2} = 19\sqrt{2}$

Ответ: $19\sqrt{2}$

2) Упростим выражение $3\sqrt{20} - \sqrt{45} + 3\sqrt{18} + \sqrt{72} - \sqrt{80}$.

Сначала вынесем множители из-под знака корня для каждого слагаемого:
$3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
$3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \cdot 2} = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

Подставим полученные значения в выражение:
$6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 9\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 4\sqrt{5}$

Сгруппируем подобные слагаемые (те, что содержат $\sqrt{5}$, и те, что содержат $\sqrt{2}$):
$(6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) + (9\sqrt{2} + 6\sqrt{2})$

Выполним действия с коэффициентами в каждой группе:
$(6 - 3 - 4)\sqrt{5} + (9 + 6)\sqrt{2} = -1\sqrt{5} + 15\sqrt{2} = 15\sqrt{2} - \sqrt{5}$

Ответ: $15\sqrt{2} - \sqrt{5}$

3) Упростим выражение $5\sqrt{a} - 3\sqrt{4a} + 2\sqrt{9a}$, где $a > 0$.

Упростим слагаемые, содержащие числовые множители под корнем. Условие $a > 0$ гарантирует, что подкоренные выражения неотрицательны.
$3\sqrt{4a} = 3\sqrt{4 \cdot a} = 3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{a} = 3 \cdot 2\sqrt{a} = 6\sqrt{a}$
$2\sqrt{9a} = 2\sqrt{9 \cdot a} = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 2 \cdot 3\sqrt{a} = 6\sqrt{a}$

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:
$5\sqrt{a} - 6\sqrt{a} + 6\sqrt{a}$

Сложим и вычтем коэффициенты при общем множителе $\sqrt{a}$:
$(5 - 6 + 6)\sqrt{a} = 5\sqrt{a}$

Ответ: $5\sqrt{a}$

4) Упростим выражение $\sqrt{x^3} + \frac{1}{2}\sqrt{36x^3} - \frac{2x}{3}\sqrt{9x}$, где $x > 0$.

Упростим каждое слагаемое, вынося множители из-под знака корня. Так как $x > 0$, то $\sqrt{x^2} = x$.
$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2}\sqrt{x} = x\sqrt{x}$
$\frac{1}{2}\sqrt{36x^3} = \frac{1}{2}\sqrt{36 \cdot x^2 \cdot x} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot x\sqrt{x} = 3x\sqrt{x}$
$\frac{2x}{3}\sqrt{9x} = \frac{2x}{3}\sqrt{9 \cdot x} = \frac{2x}{3} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{x} = \frac{2x}{3} \cdot 3\sqrt{x} = 2x\sqrt{x}$

Подставим упрощенные слагаемые в выражение:
$x\sqrt{x} + 3x\sqrt{x} - 2x\sqrt{x}$

Все слагаемые являются подобными. Вынесем общий множитель $x\sqrt{x}$ за скобки:
$(1 + 3 - 2)x\sqrt{x} = 2x\sqrt{x}$

Ответ: $2x\sqrt{x}$