Номер 722, страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 722, страница 265.

Условие.

722.Если $x < \frac{a+b}{2}$, $y < \frac{a+c}{2}$, $z < \frac{b+c}{2}$, то $x+y+z < a+b+c$. Доказать.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами числовых неравенств. Нам даны три исходных неравенства:

$x < \frac{a+b}{2}$

$y < \frac{a+c}{2}$

$z < \frac{b+c}{2}$

Согласно одному из свойств неравенств, если почленно сложить верные неравенства одного знака, то в результате получится верное неравенство того же знака. Выполним сложение левых и правых частей всех трех неравенств:

$x + y + z < \frac{a+b}{2} + \frac{a+c}{2} + \frac{b+c}{2}$

Теперь необходимо упростить выражение, стоящее в правой части полученного неравенства. Так как все дроби имеют общий знаменатель, равный 2, мы можем сложить их числители:

$\frac{a+b}{2} + \frac{a+c}{2} + \frac{b+c}{2} = \frac{(a+b) + (a+c) + (b+c)}{2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a+b+a+c+b+c}{2} = \frac{2a+2b+2c}{2}$

Далее вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\frac{2(a+b+c)}{2}$

Сократив дробь на 2, получаем:

$a+b+c$

Таким образом, мы показали, что сумма правых частей исходных неравенств равна $a+b+c$. Подставив это упрощенное выражение обратно в неравенство, полученное после сложения, мы приходим к финальному результату:

$x+y+z < a+b+c$

Это и есть то, что требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $x+y+z < a+b+c$ доказано.