Номер 651, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 651, страница 257.

Условие.

651. 1) $\frac{x^2 - y^2}{6xy} \cdot \frac{12x^2y}{x+y}$;

2) $\frac{8ab - 8b^2}{a^2 + ab} \cdot \frac{a^3 - ab^2}{4b^3}$;

3) $\frac{a^2 + 4a}{a^2 - 16} : \frac{4a + 16}{a^2 - 4a}$;

4) $\frac{5a^3b + 5ab^3}{a^4 - b^4} : \frac{10ab}{3a^2 - 3b^2}$.

Решение 1.

Решение 4.

1) Исходное выражение: $\frac{x^2 - y^2}{6xy} \cdot \frac{12x^2y}{x+y}$.
Для упрощения выражения разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Выражение примет вид: $\frac{(x-y)(x+y)}{6xy} \cdot \frac{12x^2y}{x+y}$.
Теперь выполним умножение дробей, перемножая их числители и знаменатели, а затем произведем сокращение общих множителей:
$\frac{(x-y)(x+y) \cdot 12x^2y}{6xy \cdot (x+y)}$.
Сокращаем общий множитель $(x+y)$ в числителе и знаменателе. Также сокращаем числовые коэффициенты $12$ и $6$ (получаем $2$) и переменные $x$ и $y$.
$\frac{(x-y) \cdot \cancel{(x+y)} \cdot \cancel{12}^2 \cdot x^2 \cdot y}{\cancel{6} \cdot x \cdot y \cdot \cancel{(x+y)}} = \frac{2x^2y(x-y)}{xy}$.
Сократив $x$ и $y$, получаем:
$2x(x-y)$.
Ответ: $2x(x-y)$.

2) Исходное выражение: $\frac{8ab - 8b^2}{a^2 + ab} \cdot \frac{a^3 - ab^2}{4b^3}$.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей:
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $8b$: $8ab - 8b^2 = 8b(a-b)$.
В знаменателе первой дроби вынесем $a$: $a^2 + ab = a(a+b)$.
В числителе второй дроби вынесем $a$ и применим формулу разности квадратов: $a^3 - ab^2 = a(a^2-b^2) = a(a-b)(a+b)$.
Подставим разложенные выражения: $\frac{8b(a-b)}{a(a+b)} \cdot \frac{a(a-b)(a+b)}{4b^3}$.
Перемножим дроби и сократим общие множители:
$\frac{8b(a-b) \cdot a(a-b)(a+b)}{a(a+b) \cdot 4b^3} = \frac{\cancel{8}^2 \cdot \cancel{b} \cdot (a-b) \cdot \cancel{a} \cdot (a-b) \cdot \cancel{(a+b)}}{\cancel{a} \cdot \cancel{(a+b)} \cdot \cancel{4} \cdot b^{\cancel{3}2}} = \frac{2(a-b)^2}{b^2}$.
Ответ: $\frac{2(a-b)^2}{b^2}$.

3) Исходное выражение: $\frac{a^2 + 4a}{a^2 - 16} : \frac{4a + 16}{a^2 - 4a}$.
Заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):
$\frac{a^2 + 4a}{a^2 - 16} \cdot \frac{a^2 - 4a}{4a + 16}$.
Разложим на множители все числители и знаменатели:
$a^2 + 4a = a(a+4)$
$a^2 - 16 = (a-4)(a+4)$
$a^2 - 4a = a(a-4)$
$4a + 16 = 4(a+4)$
Подставим полученные выражения: $\frac{a(a+4)}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{a(a-4)}{4(a+4)}$.
Выполним умножение и сократим общие множители $(a+4)$ и $(a-4)$:
$\frac{a \cdot \cancel{(a+4)} \cdot a \cdot \cancel{(a-4)}}{\cancel{(a-4)} \cdot \cancel{(a+4)} \cdot 4(a+4)} = \frac{a \cdot a}{4(a+4)} = \frac{a^2}{4(a+4)}$.
Ответ: $\frac{a^2}{4(a+4)}$.

4) Исходное выражение: $\frac{5a^3b + 5ab^3}{a^4 - b^4} \cdot \frac{10ab}{3a^2 - 3b^2}$.
Разложим на множители числители и знаменатели:
$5a^3b + 5ab^3 = 5ab(a^2+b^2)$.
$a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ (дважды применили разность квадратов).
$3a^2 - 3b^2 = 3(a^2-b^2) = 3(a-b)(a+b)$.
Подставим разложенные выражения: $\frac{5ab(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} \cdot \frac{10ab}{3(a-b)(a+b)}$.
Перемножим дроби и сократим общий множитель $(a^2+b^2)$:
$\frac{5ab \cdot \cancel{(a^2+b^2)} \cdot 10ab}{(a-b)(a+b)\cancel{(a^2+b^2)} \cdot 3(a-b)(a+b)} = \frac{5ab \cdot 10ab}{3(a-b)(a+b) \cdot (a-b)(a+b)}$.
Упростим числитель и знаменатель:
Числитель: $5ab \cdot 10ab = 50a^2b^2$.
Знаменатель: $3(a-b)(a+b)(a-b)(a+b) = 3((a-b)(a+b))^2 = 3(a^2-b^2)^2$.
В итоге получаем:
$\frac{50a^2b^2}{3(a^2-b^2)^2}$.
Ответ: $\frac{50a^2b^2}{3(a^2-b^2)^2}$.