Номер 5, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Практические и прикладные задачи. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 5, страница 252.

Условие.

5. Футболист подбросил мяч вертикально вверх со скоростью $v_0 = 12 \text{ м/с}$. Через какое время $t$ мяч будет находиться на высоте 4 м? (Высота $H$, на которую поднимается вертикально брошенное тело, находится по формуле $H = v_0t - \frac{gt^2}{2}$, где $v_0$ — начальная скорость, $t$ — время полёта, $g$ — ускорение свободного падения.)

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся формулой для высоты $H$, на которую поднимается вертикально брошенное тело, которая дана в условии:

$H = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Нам известны следующие величины:

• начальная скорость $v_0 = 12$ м/с;
• высота $H = 4$ м.

Ускорение свободного падения $g$ является физической константой. Если в условии не указано иное, для упрощения расчетов принимается значение $g \approx 10$ м/с².

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти искомое время $t$:

$4 = 12t - \frac{10t^2}{2}$

Упростим уравнение:

$4 = 12t - 5t^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $at^2 + bt + c = 0$:

$5t^2 - 12t + 4 = 0$

Для нахождения корней уравнения $t$ воспользуемся формулой через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=5$, $b=-12$, $c=4$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что мяч побывает на высоте 4 м дважды. Найдем эти моменты времени $t_1$ и $t_2$ по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-12) - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$ с

$t_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2$ с

Оба полученных значения времени положительны и имеют физический смысл. Мяч окажется на высоте 4 м в первый раз через 0.4 секунды после броска (при движении вверх) и во второй раз — через 2 секунды после броска (при движении вниз).

Ответ: через 0,4 с и 2 с.