Страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

813. Доказать, что выражение $a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)$ не равно нулю, если $a, b, c$ — попарно не равные между собой числа.

Для доказательства утверждения преобразуем данное выражение. Обозначим его через $E$:$E = a^2(c - b) + b^2(a - c) + c^2(b - a)$

Сначала раскроем скобки, чтобы получить многочлен:$E = a^2c - a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 - ac^2$

Теперь сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители. Удобно сгруппировать их по степеням одной из переменных, например, $a$:$E = -a^2(b - c) + a(b^2 - c^2) - (b^2c - bc^2)$Применим формулу разности квадратов $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$ и вынесем общий множитель в последней группе $-bc(b-c)$:$E = -a^2(b - c) + a(b - c)(b + c) - bc(b - c)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(b - c)$:$E = (b - c)(-a^2 + a(b + c) - bc)$

Преобразуем выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и сгруппировав слагаемые для дальнейшего разложения:$-a^2 + ab + ac - bc = (ab - a^2) + (ac - bc) = a(b - a) - c(b - a) = (a - c)(b - a)$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения трех множителей:$E = (b - c)(a - c)(b - a)$

По условию задачи числа $a, b, c$ являются попарно не равными. Это означает, что $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$. Из этого следует, что каждая из разностей в полученном произведении не равна нулю:$(b - c) \neq 0$$(a - c) \neq 0$$(b - a) \neq 0$

Произведение трех ненулевых множителей всегда отлично от нуля. Следовательно, и значение исходного выражения не может быть равно нулю.

Ответ: Утверждение доказано, так как данное выражение тождественно равно произведению $(b-c)(a-c)(b-a)$, а по условию попарного различия чисел $a, b, c$ все три множителя в этом произведении отличны от нуля.

814. Если $a \neq b$ и $\frac{a^2 - bc}{a(1 - bc)} = \frac{b^2 - ac}{b(1 - ac)}$, то $a+b+c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$. Доказать.

Доказательство:

Начнем с данного в условии равенства:

$$ \frac{a^2 - bc}{a(1-bc)} = \frac{b^2 - ac}{b(1-ac)} $$

По условию $a \neq b$. Также из вида дробей следует, что $a \neq 0$, $b \neq 0$, $1-bc \neq 0$ и $1-ac \neq 0$. Если предположить, что $c=0$, то равенство примет вид $\frac{a^2}{a} = \frac{b^2}{b}$, что означает $a=b$. Это противоречит условию $a \neq b$, следовательно, $c \neq 0$.

Выполним преобразование, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$$ b(1-ac)(a^2 - bc) = a(1-bc)(b^2 - ac) $$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$$ (b - abc)(a^2 - bc) = (a - abc)(b^2 - ac) $$

$$ a^2b - b^2c - a^3bc + ab^2c^2 = ab^2 - a^2c - ab^3c + a^2bc^2 $$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$$ (a^2b - ab^2) + (a^2c - b^2c) - (a^3bc - ab^3c) - (a^2bc^2 - ab^2c^2) = 0 $$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$$ ab(a-b) + c(a^2-b^2) - abc(a^2-b^2) - abc^2(a-b) = 0 $$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ ab(a-b) + c(a-b)(a+b) - abc(a-b)(a+b) - abc^2(a-b) = 0 $$

Теперь можно вынести общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$$ (a-b)[ab + c(a+b) - abc(a+b) - abc^2] = 0 $$

Так как по условию $a \neq b$, то множитель $(a-b)$ не равен нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(a-b)$:

$$ ab + c(a+b) - abc(a+b) - abc^2 = 0 $$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$$ ab + ac + bc - a^2bc - ab^2c - abc^2 = 0 $$

Перенесем члены с отрицательными знаками в правую часть:

$$ ab + ac + bc = a^2bc + ab^2c + abc^2 $$

Теперь рассмотрим равенство, которое требуется доказать: $a+b+c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.

Поскольку мы установили, что $a, b, c$ не равны нулю, мы можем привести правую часть к общему знаменателю $abc$:

$$ a+b+c = \frac{bc + ac + ab}{abc} $$

Умножим обе части этого равенства на $abc$:

$$ abc(a+b+c) = ab + ac + bc $$

Раскрыв скобки в левой части, получим:

$$ a^2bc + ab^2c + abc^2 = ab + ac + bc $$

Сравнивая полученное равенство с результатом, выведенным из исходного условия ($ab + ac + bc = a^2bc + ab^2c + abc^2$), мы видим, что они идентичны. Это доказывает, что исходное равенство эквивалентно доказываемому.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Оно показывает, что при выполнении условий $a \neq b$ и $\frac{a^2 - bc}{a(1-bc)} = \frac{b^2 - ac}{b(1-ac)}$, равенство $a+b+c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ является верным.

815. Пусть $x+y=a$, $xy=b$. Доказать, что:

1) $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$;

2) $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$;

3) $x^5 + y^5 = a^5 - 5a^3b + 5ab^2$;

4) $x^6 + y^6 = a^6 - 6a^4b + 9a^2b^2 - 2b^3$.

1)

Для доказательства воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба суммы: $ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $.

Сгруппируем слагаемые: $ (x+y)^3 = (x^3+y^3) + 3xy(x+y) $.

Выразим из этого равенства искомую сумму кубов $ x^3+y^3 $:

$ x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) $

Подставим известные значения из условия задачи: $ x+y=a $ и $ xy=b $.

$ x^3+y^3 = a^3 - 3ab $

Что и требовалось доказать.

Ответ: $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$.

2)

Сначала найдем выражение для $ x^2+y^2 $. Для этого возведем в квадрат сумму $ x+y $:

$ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $

Отсюда $ x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy $. Подставив известные значения, получаем:

$ x^2+y^2 = a^2 - 2b $

Теперь, чтобы найти $ x^4+y^4 $, возведем в квадрат полученное выражение для $ x^2+y^2 $:

$ (x^2+y^2)^2 = (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 = x^4+y^4 + 2(xy)^2 $

Выразим отсюда $ x^4+y^4 $:

$ x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2 $

Подставим ранее найденные выражения:

$ x^4+y^4 = (a^2-2b)^2 - 2b^2 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ x^4+y^4 = (a^4 - 4a^2b + 4b^2) - 2b^2 = a^4 - 4a^2b + 2b^2 $

Что и требовалось доказать.

Ответ: $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$.

3)

Для нахождения $ x^5+y^5 $ перемножим выражения $ x^2+y^2 $ и $ x^3+y^3 $:

$ (x^2+y^2)(x^3+y^3) = x^5 + x^2y^3 + x^3y^2 + y^5 = (x^5+y^5) + x^2y^2(x+y) $

Выразим отсюда $ x^5+y^5 $:

$ x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - (xy)^2(x+y) $

Из предыдущих пунктов мы знаем, что $ x^2+y^2 = a^2-2b $ и $ x^3+y^3=a^3-3ab $. Подставим эти выражения, а также $ x+y=a $ и $ xy=b $:

$ x^5+y^5 = (a^2-2b)(a^3-3ab) - b^2 a $

Раскроем скобки в произведении:

$ (a^2-2b)(a^3-3ab) = a^5 - 3a^3b - 2a^3b + 6ab^2 = a^5 - 5a^3b + 6ab^2 $

Подставим результат обратно и завершим вычисления:

$ x^5+y^5 = (a^5 - 5a^3b + 6ab^2) - ab^2 = a^5 - 5a^3b + 5ab^2 $

Что и требовалось доказать.

Ответ: $x^5 + y^5 = a^5 - 5a^3b + 5ab^2$.

4)

Для нахождения $ x^6+y^6 $ возведем в квадрат выражение $ x^3+y^3 $:

$ (x^3+y^3)^2 = (x^3)^2 + 2x^3y^3 + (y^3)^2 = x^6+y^6 + 2(xy)^3 $

Выразим отсюда $ x^6+y^6 $:

$ x^6+y^6 = (x^3+y^3)^2 - 2(xy)^3 $

Из пункта 1 мы знаем, что $ x^3+y^3 = a^3-3ab $. Подставим это выражение и $ xy=b $:

$ x^6+y^6 = (a^3-3ab)^2 - 2b^3 $

Раскроем квадрат разности:

$ (a^3-3ab)^2 = (a^3)^2 - 2(a^3)(3ab) + (3ab)^2 = a^6 - 6a^4b + 9a^2b^2 $

Подставим результат в выражение для $ x^6+y^6 $:

$ x^6+y^6 = (a^6 - 6a^4b + 9a^2b^2) - 2b^3 = a^6 - 6a^4b + 9a^2b^2 - 2b^3 $

Что и требовалось доказать.

Ответ: $x^6 + y^6 = a^6 - 6a^4b + 9a^2b^2 - 2b^3$.

816. Упростить выражение:

1) $ \frac{4}{1+x^4} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}; $

2) $ \frac{a^2-bc}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2-ac}{(b+c)(a+b)} + \frac{c^2-ab}{(a+c)(b+c)}; $

3) $ \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}, \text{ если } 1 \le x < 2; $

4) $ \frac{\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x}}{\sqrt{m+x}-\sqrt{m-x}}, \text{ если } x = \frac{2mn}{n^2+1}, \text{ где } m>0, 0<n<1. $

1) Упростим выражение, последовательно складывая дроби, начиная с последних двух.
Сначала сложим последние две дроби:
$\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} = \frac{1-x + 1+x}{(1+x)(1-x)} = \frac{2}{1-x^2}$.
Теперь выражение имеет вид: $\frac{4}{1+x^4} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{2}{1-x^2}$.
Сложим следующие две дроби:
$\frac{2}{1+x^2} + \frac{2}{1-x^2} = \frac{2(1-x^2) + 2(1+x^2)}{(1+x^2)(1-x^2)} = \frac{2-2x^2+2+2x^2}{1-x^4} = \frac{4}{1-x^4}$.
Теперь выражение имеет вид: $\frac{4}{1+x^4} + \frac{4}{1-x^4}$.
Наконец, сложим оставшиеся дроби:
$\frac{4}{1+x^4} + \frac{4}{1-x^4} = \frac{4(1-x^4) + 4(1+x^4)}{(1+x^4)(1-x^4)} = \frac{4-4x^4+4+4x^4}{1-x^8} = \frac{8}{1-x^8}$.
Ответ: $\frac{8}{1-x^8}$.

2) Приведем все дроби к общему знаменателю $(a+b)(a+c)(b+c)$:
$\frac{(a^2-bc)(b+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)} + \frac{(b^2-ac)(a+c)}{(b+c)(a+b)(a+c)} + \frac{(c^2-ab)(a+b)}{(a+c)(b+c)(a+b)}$.
Сложим числители:
$(a^2-bc)(b+c) + (b^2-ac)(a+c) + (c^2-ab)(a+b)$
Раскроем скобки в числителе:
$(a^2b + a^2c - b^2c - bc^2) + (ab^2 + b^2c - a^2c - ac^2) + (ac^2 + bc^2 - a^2b - ab^2)$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(a^2b - a^2b) + (a^2c - a^2c) + (-b^2c + b^2c) + (-bc^2 + bc^2) + (ab^2 - ab^2) + (-ac^2 + ac^2) = 0$.
Поскольку числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю по определению, все выражение равно нулю.
Ответ: $0$.

3) Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты.
Для первого слагаемого: $x+2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 + 2\cdot\sqrt{x-1}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{x-1}+1)^2$.
Для второго слагаемого: $x-2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 - 2\cdot\sqrt{x-1}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{x-1}-1)^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2} = |\sqrt{x-1}+1| + |\sqrt{x-1}-1|$.
По условию $1 \le x < 2$. Следовательно, $0 \le x-1 < 1$, и $0 \le \sqrt{x-1} < 1$.
Оценим выражения под модулями:
1) $\sqrt{x-1}+1 > 0$, поэтому $|\sqrt{x-1}+1| = \sqrt{x-1}+1$.
2) $\sqrt{x-1}-1 < 0$, поэтому $|\sqrt{x-1}-1| = -(\sqrt{x-1}-1) = 1-\sqrt{x-1}$.
Сложим полученные выражения:
$(\sqrt{x-1}+1) + (1-\sqrt{x-1}) = \sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1} = 2$.
Ответ: $2$.

4) Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x})$:
$\frac{\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x}}{\sqrt{m+x}-\sqrt{m-x}} = \frac{(\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x})^2}{(\sqrt{m+x}-\sqrt{m-x})(\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x})} = \frac{(m+x)+2\sqrt{(m+x)(m-x)}+(m-x)}{(m+x)-(m-x)} = \frac{2m+2\sqrt{m^2-x^2}}{2x} = \frac{m+\sqrt{m^2-x^2}}{x}$.
Теперь подставим значение $x = \frac{2mn}{n^2+1}$. Сначала вычислим выражение под корнем:
$m^2-x^2 = m^2 - \left(\frac{2mn}{n^2+1}\right)^2 = m^2\left(1 - \frac{4n^2}{(n^2+1)^2}\right) = m^2\frac{(n^2+1)^2-4n^2}{(n^2+1)^2} = m^2\frac{n^4+2n^2+1-4n^2}{(n^2+1)^2} = m^2\frac{n^4-2n^2+1}{(n^2+1)^2} = m^2\frac{(n^2-1)^2}{(n^2+1)^2} = \left(\frac{m(n^2-1)}{n^2+1}\right)^2$.
Тогда $\sqrt{m^2-x^2} = \sqrt{\left(\frac{m(n^2-1)}{n^2+1}\right)^2} = \left|\frac{m(n^2-1)}{n^2+1}\right|$.
По условию $m>0$ и $0<n<1$. Значит $n^2-1 < 0$, и $n^2+1 > 0$. Следовательно, выражение под модулем отрицательно.
$\left|\frac{m(n^2-1)}{n^2+1}\right| = -\frac{m(n^2-1)}{n^2+1} = \frac{m(1-n^2)}{n^2+1}$.
Подставим это в упрощенное выражение $\frac{m+\sqrt{m^2-x^2}}{x}$:
$\frac{m + \frac{m(1-n^2)}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}} = \frac{\frac{m(n^2+1)+m(1-n^2)}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}} = \frac{\frac{mn^2+m+m-mn^2}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}} = \frac{\frac{2m}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}} = \frac{2m}{2mn} = \frac{1}{n}$.
Ответ: $\frac{1}{n}$.

817. Решить уравнение:

1) $x^2 - 2|x - 1| = 2;$

2) $(x + 1)|x - 2| = 2;$

3) $\left| \left| x - 1 \right| - 3 \right| = 2;$

4) $\left|x^2 - 9\right| + \left|x^2 - 4\right| = 5;$

5) $x^2 + 3x + \frac{6}{2 - 3x - x^2} = 1;$

6) $\frac{1}{x^2 + 6x + 5} + \frac{18}{x^2 + 6x + 10} = \frac{18}{x^2 + 6x + 9};$

7) $x^2 + \frac{1}{x^2} - 5x - \frac{5}{x} + 8 = 0;$

8) $x(x^2 - 1)(x + 2) + 1 = 0.$

1) $x^2 - 2|x-1| = 2$

Решение уравнения с модулем требует рассмотрения двух случаев.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
В этом случае $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(x-1) = 2$
$x^2 - 2x + 2 = 2$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x-2) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, поэтому является посторонним. Корень $x_2=2$ удовлетворяет условию.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.
В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(1-x) = 2$
$x^2 - 2 + 2x = 2$
$x^2 + 2x - 4 = 0$
Решаем квадратное уравнение по формуле корней:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$.
$x_3 = -1 + \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.24$, то $x_3 \approx 1.24$, что не удовлетворяет условию $x < 1$.
$x_4 = -1 - \sqrt{5}$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 1$.

Ответ: $x = 2, x = -1 - \sqrt{5}$.

2) $(x+1)|x-2| = 2$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
$|x-2| = x-2$. Уравнение принимает вид:
$(x+1)(x-2) = 2$
$x^2 - x - 2 = 2$
$x^2 - x - 4 = 0$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Корень $x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} \approx 4.12$, $x_1 \approx 2.56$, что удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Корень $x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ является отрицательным и не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Случай 2: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
$|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Уравнение принимает вид:
$(x+1)(2-x) = 2$
$-x^2 + x + 2 = 2$
$-x^2 + x = 0$
$x(1-x) = 0$
Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 2$.

Ответ: $x = 0, x = 1, x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.

3) $||x-1|-3| = 2$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений.

1) $|x-1|-3 = 2 \implies |x-1| = 5$.
Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:
$x-1 = 5 \implies x_1 = 6$.
$x-1 = -5 \implies x_2 = -4$.

2) $|x-1|-3 = -2 \implies |x-1| = 1$.
Это уравнение также распадается на два:
$x-1 = 1 \implies x_3 = 2$.
$x-1 = -1 \implies x_4 = 0$.

Ответ: $x = -4, x = 0, x = 2, x = 6$.

4) $|x^2-9| + |x^2-4| = 5$

Заметим, что $5 = |(x^2-4) - (x^2-9)|$. Уравнение имеет вид $|a|+|b|=|a-b|$, где $a=x^2-4$ и $b=x^2-9$.
Тождество $|a|+|b|=|a-b|$ выполняется тогда и только тогда, когда $a \cdot b \le 0$.
Следовательно, исходное уравнение равносильно неравенству:
$(x^2-4)(x^2-9) \le 0$
$(x-2)(x+2)(x-3)(x+3) \le 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни многочлена: -3, -2, 2, 3.
На числовой оси эти точки разбивают её на интервалы. Выражение в левой части неравенства неположительно на отрезках между корнями.
$x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$.

5) $x^2 + 3x + \frac{6}{2 - 3x - x^2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $2 - 3x - x^2 \neq 0$, или $x^2 + 3x - 2 \neq 0$.
Преобразуем уравнение:
$x^2 + 3x - \frac{6}{x^2 + 3x - 2} = 1$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 3x$. Тогда уравнение примет вид:
$y - \frac{6}{y-2} = 1$
При условии $y-2 \neq 0$ (что соответствует ОДЗ), умножим обе части на $y-2$:
$y(y-2) - 6 = 1(y-2)$
$y^2 - 2y - 6 = y - 2$
$y^2 - 3y - 4 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1=4$ и $y_2=-1$. Оба корня удовлетворяют условию $y \neq 2$.

Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $x^2 + 3x = 4 \implies x^2 + 3x - 4 = 0 \implies (x+4)(x-1) = 0$. Корни $x_1 = -4, x_2 = 1$.
2) $x^2 + 3x = -1 \implies x^2 + 3x + 1 = 0$. Корни $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4(1)(1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Все найденные корни не обращают в ноль знаменатель $x^2+3x-2$.

Ответ: $x = -4, x = 1, x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, x = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

6) $\frac{1}{x^2+6x+5} + \frac{18}{x^2+6x+10} = \frac{18}{x^2+6x+9}$

ОДЗ: $x^2+6x+5 \neq 0$, $x^2+6x+10 \neq 0$, $x^2+6x+9 \neq 0$.
Пусть $y = x^2+6x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{y+5} + \frac{18}{y+10} = \frac{18}{y+9}$
Перенесем слагаемые:
$\frac{1}{y+5} = \frac{18}{y+9} - \frac{18}{y+10}$
$\frac{1}{y+5} = 18 \left( \frac{y+10 - (y+9)}{(y+9)(y+10)} \right)$
$\frac{1}{y+5} = \frac{18}{(y+9)(y+10)}$
При условии, что знаменатели не равны нулю, можем использовать перекрестное умножение:
$(y+9)(y+10) = 18(y+5)$
$y^2 + 19y + 90 = 18y + 90$
$y^2 + y = 0$
$y(y+1) = 0$
Корни $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.

Возвращаемся к переменной $x$.
1) $x^2+6x = 0 \implies x(x+6) = 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = -6$.
2) $x^2+6x = -1 \implies x^2+6x+1 = 0$. Корни $x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
Проверка по ОДЗ: $x \neq -1, -5, -3$. Найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 0, x = -6, x = -3 + 2\sqrt{2}, x = -3 - 2\sqrt{2}$.

7) $x^2 + \frac{1}{x^2} - 5x - \frac{5}{x} + 8 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.
Сгруппируем слагаемые:
$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 8 = 0$
Это возвратное уравнение. Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$.
Тогда $y^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим в уравнение:
$(y^2 - 2) - 5y + 8 = 0$
$y^2 - 5y + 6 = 0$
$(y-2)(y-3) = 0$
Корни $y_1 = 2, y_2 = 3$.

Вернемся к переменной $x$.
1) $x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x_1 = 1$.
2) $x + \frac{1}{x} = 3 \implies x^2 - 3x + 1 = 0 \implies x_{2,3} = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Все корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 1, x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

8) $x(x^2-1)(x+2)+1=0$

Раскроем скобки и перегруппируем множители:
$x(x-1)(x+1)(x+2)+1=0$
Сгруппируем множители так, чтобы получить одинаковые выражения: $[x(x+1)][(x-1)(x+2)]+1=0$.
$(x^2+x)(x^2+x-2)+1=0$
Сделаем замену $y = x^2+x$.
$y(y-2)+1=0$
$y^2-2y+1=0$
$(y-1)^2=0$
$y=1$.

Вернемся к переменной $x$:
$x^2+x = 1$
$x^2+x-1 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

818. Решить систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + xy = 10 \\ y^2 + xy = 15 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} (x - 1)(y - 1) = 6 \\ (x + 2)(y + 2) = 30 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + y + xy = 11 \\ x^2 + y^2 + xy = 19 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases} $

5) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{5}{4} \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^4 + y^4 = 17(x + y)^2 \\ xy = 2(x + y) \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 2y^2 - 4xy + 3x^2 = 17 \\ y^2 - x^2 = 16 \end{cases} $

8) $ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21 \\ y^2 - 2xy + 15 = 0 \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + xy = 10 \\ y^2 + xy = 15 \end{cases}$

Вынесем общие множители в каждом уравнении:
$\begin{cases} x(x+y) = 10 \\ y(x+y) = 15 \end{cases}$

Заметим, что $x+y \neq 0$, иначе левые части уравнений были бы равны нулю. Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{y(x+y)}{x(x+y)} = \frac{15}{10}$
$\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$, откуда $y = \frac{3}{2}x$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$x^2 + x(\frac{3}{2}x) = 10$
$x^2 + \frac{3}{2}x^2 = 10$
$\frac{5}{2}x^2 = 10$
$x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.

Получаем две пары решений: $(2, 3)$ и $(-2, -3)$.

Ответ: $(2, 3)$, $(-2, -3)$.

2)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} (x-1)(y-1) = 6 \\ (x+2)(y+2) = 30 \end{cases}$

Раскроем скобки в обоих уравнениях:
$\begin{cases} xy - x - y + 1 = 6 \\ xy + 2x + 2y + 4 = 30 \end{cases}$
$\begin{cases} xy - (x+y) = 5 \\ xy + 2(x+y) = 26 \end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$. Система примет вид:
$\begin{cases} v - u = 5 \\ v + 2u = 26 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:
$(v + 2u) - (v - u) = 26 - 5$
$3u = 21$, откуда $u=7$.

Подставим значение $u$ в первое уравнение системы:
$v - 7 = 5$, откуда $v=12$.

Возвращаемся к исходным переменным:
$\begin{cases} x+y = 7 \\ xy = 12 \end{cases}$

По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = 4$.

Следовательно, решения системы: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Ответ: $(3, 4)$, $(4, 3)$.

3)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y + xy = 11 \\ x^2 + y^2 + xy = 19 \end{cases}$

Введем симметрические замены: $u = x+y$, $v = xy$.
Выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$: $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Система в новых переменных:
$\begin{cases} u + v = 11 \\ (u^2 - 2v) + v = 19 \end{cases}$
$\begin{cases} v = 11 - u \\ u^2 - v = 19 \end{cases}$

Подставим $v$ из первого уравнения во второе:
$u^2 - (11 - u) = 19$
$u^2 + u - 11 - 19 = 0$
$u^2 + u - 30 = 0$

Решая квадратное уравнение, находим корни $u_1 = 5$, $u_2 = -6$.

Рассмотрим два случая:
1. Если $u=5$, то $v = 11 - 5 = 6$. Получаем систему:
$\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$
По теореме Виета, $x, y$ - корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. Корни $t_1=2, t_2=3$.
Решения: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.
2. Если $u=-6$, то $v = 11 - (-6) = 17$. Получаем систему:
$\begin{cases} x+y = -6 \\ xy = 17 \end{cases}$
Соответствующее квадратное уравнение $t^2 + 6t + 17 = 0$.
Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 17 = 36 - 68 = -32 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

4)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения:
$(x^2 + y^2 + x + y) + (x^2 - y^2 + x - y) = 18 + 6$
$2x^2 + 2x = 24 \implies x^2 + x - 12 = 0$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + y^2 + x + y) - (x^2 - y^2 + x - y) = 18 - 6$
$2y^2 + 2y = 12 \implies y^2 + y - 6 = 0$.
Корни этого уравнения: $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Нужно проверить все возможные комбинации найденных значений $x$ и $y$.
Подставим $x=3$ в исходную систему. Оба уравнения приводятся к виду $y^2+y-6=0$, корнями которого являются $y=2$ и $y=-3$. Значит, пары $(3, 2)$ и $(3, -3)$ являются решениями.
Подставим $x=-4$ в исходную систему. Оба уравнения также приводятся к виду $y^2+y-6=0$, что дает $y=2$ и $y=-3$. Значит, пары $(-4, 2)$ и $(-4, -3)$ также являются решениями.

Ответ: $(3, 2)$, $(3, -3)$, $(-4, 2)$, $(-4, -3)$.

5)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{5}{4} \end{cases}$

Сделаем замену: $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:
$\begin{cases} a + b = \frac{3}{2} \\ a^2 + b^2 = \frac{5}{4} \end{cases}$

Возведем первое уравнение в квадрат: $(a+b)^2 = (\frac{3}{2})^2 \implies a^2 + 2ab + b^2 = \frac{9}{4}$.
Мы знаем, что $a^2+b^2 = \frac{5}{4}$, поэтому:
$\frac{5}{4} + 2ab = \frac{9}{4}$
$2ab = \frac{9}{4} - \frac{5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$ab = \frac{1}{2}$.

Теперь решаем систему:
$\begin{cases} a + b = \frac{3}{2} \\ ab = \frac{1}{2} \end{cases}$

$a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - \frac{3}{2}t + \frac{1}{2} = 0$, или $2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к переменным $x, y$:
1. $a=1, b=\frac{1}{2} \implies \frac{1}{x}=1, \frac{1}{y}=\frac{1}{2} \implies x=1, y=2$.
2. $a=\frac{1}{2}, b=1 \implies \frac{1}{x}=\frac{1}{2}, \frac{1}{y}=1 \implies x=2, y=1$.

Ответ: $(1, 2)$, $(2, 1)$.

6)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^4 + y^4 = 17(x+y)^2 \\ xy = 2(x+y) \end{cases}$

Введем замены $S = x+y$, $P = xy$. Система примет вид:
$\begin{cases} x^4 + y^4 = 17S^2 \\ P = 2S \end{cases}$

Выразим $x^4+y^4$ через $S$ и $P$:
$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = S^2-2P$
$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = (S^2-2P)^2 - 2P^2$

Подставим это в первое уравнение: $(S^2-2P)^2 - 2P^2 = 17S^2$.
Теперь подставим $P=2S$:
$(S^2 - 2(2S))^2 - 2(2S)^2 = 17S^2$
$(S^2 - 4S)^2 - 8S^2 = 17S^2$
$(S^2 - 4S)^2 = 25S^2$

Извлекаем квадратный корень: $S^2-4S = 5S$ или $S^2-4S = -5S$.
1. $S^2-9S=0 \implies S(S-9)=0 \implies S=0$ или $S=9$.
2. $S^2+S=0 \implies S(S+1)=0 \implies S=0$ или $S=-1$.

Рассмотрим три случая для $S$:
• $S=0$: $x+y=0, P=xy=0$. Отсюда $x=0, y=0$. Решение $(0,0)$.
• $S=9$: $x+y=9, P=xy=18$. Корни уравнения $t^2-9t+18=0$ - это $t_1=3, t_2=6$. Решения $(3,6)$ и $(6,3)$.
• $S=-1$: $x+y=-1, P=xy=-2$. Корни уравнения $t^2+t-2=0$ - это $t_1=1, t_2=-2$. Решения $(1,-2)$ и $(-2,1)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(3, 6)$, $(6, 3)$, $(1, -2)$, $(-2, 1)$.

7)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2y^2 - 4xy + 3x^2 = 17 \\ y^2 - x^2 = 16 \end{cases}$

Это однородная система. Умножим второе уравнение на 17, а первое на 16, чтобы избавиться от свободных членов:
$16(2y^2 - 4xy + 3x^2) = 17(y^2 - x^2)$
$32y^2 - 64xy + 48x^2 = 17y^2 - 17x^2$
$15y^2 - 64xy + 65x^2 = 0$

Так как $x=0$ не является решением (иначе $y=0$, что не удовлетворяет второму уравнению), разделим на $x^2$:
$15(\frac{y}{x})^2 - 64(\frac{y}{x}) + 65 = 0$

Пусть $t = \frac{y}{x}$. Решаем квадратное уравнение $15t^2 - 64t + 65 = 0$.
$D = 64^2 - 4 \cdot 15 \cdot 65 = 4096 - 3900 = 196 = 14^2$.
$t_1 = \frac{64+14}{30} = \frac{78}{30} = \frac{13}{5}$
$t_2 = \frac{64-14}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$

Рассмотрим два случая:
1. $y = \frac{13}{5}x$. Подставим в $y^2 - x^2 = 16$:
$(\frac{13}{5}x)^2 - x^2 = 16 \implies \frac{169}{25}x^2 - x^2 = 16 \implies \frac{144}{25}x^2=16 \implies x^2 = \frac{25}{9}$.
$x = \pm \frac{5}{3}$. Соответствующие $y = \pm \frac{13}{3}$. Решения: $(\frac{5}{3}, \frac{13}{3})$ и $(-\frac{5}{3}, -\frac{13}{3})$.
2. $y = \frac{5}{3}x$. Подставим в $y^2 - x^2 = 16$:
$(\frac{5}{3}x)^2 - x^2 = 16 \implies \frac{25}{9}x^2 - x^2 = 16 \implies \frac{16}{9}x^2=16 \implies x^2=9$.
$x = \pm 3$. Соответствующие $y = \pm 5$. Решения: $(3, 5)$ и $(-3, -5)$.

Ответ: $(3, 5)$, $(-3, -5)$, $(\frac{5}{3}, \frac{13}{3})$, $(-\frac{5}{3}, -\frac{13}{3})$.

8)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21 \\ y^2 - 2xy + 15 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y^2 = 2xy - 15$. Подставим в первое уравнение:
$x^2 - xy + (2xy - 15) = 21$
$x^2 + xy = 36$, откуда $xy = 36 - x^2$.

Теперь подставим $xy$ во второе уравнение исходной системы:
$y^2 - 2(36-x^2) + 15 = 0$
$y^2 - 72 + 2x^2 + 15 = 0$
$y^2 + 2x^2 = 57$.

У нас новая система:
$\begin{cases} xy = 36 - x^2 \\ y^2 + 2x^2 = 57 \end{cases}$

Из первого уравнения $y = \frac{36-x^2}{x}$. Подставим во второе:
$(\frac{36-x^2}{x})^2 + 2x^2 = 57$
$\frac{1296 - 72x^2 + x^4}{x^2} + 2x^2 = 57$
$1296 - 72x^2 + x^4 + 2x^4 = 57x^2$
$3x^4 - 129x^2 + 1296 = 0$
$x^4 - 43x^2 + 432 = 0$

Пусть $z=x^2$. Уравнение $z^2 - 43z + 432 = 0$.
$D = 43^2 - 4 \cdot 432 = 1849 - 1728 = 121 = 11^2$.
$z_1 = \frac{43+11}{2} = 27$, $z_2 = \frac{43-11}{2} = 16$.

Рассмотрим два случая:
1. $x^2 = 16 \implies x=\pm 4$.
Из $x^2+xy=36$: если $x=4$, то $16+4y=36 \implies y=5$. Если $x=-4$, то $16-4y=36 \implies y=-5$.
Решения: $(4, 5)$ и $(-4, -5)$.
2. $x^2 = 27 \implies x=\pm 3\sqrt{3}$.
Из $x^2+xy=36$: если $x=3\sqrt{3}$, то $27+3\sqrt{3}y=36 \implies y=\sqrt{3}$. Если $x=-3\sqrt{3}$, то $27-3\sqrt{3}y=36 \implies y=-\sqrt{3}$.
Решения: $(3\sqrt{3}, \sqrt{3})$ и $(-3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Ответ: $(4, 5)$, $(-4, -5)$, $(3\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $(-3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.