Страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

819. Найти все значения $r$, при которых уравнение $x^2+rx+2r-3=0$ имеет:

1) равные корни;

2) действительные корни, модули которых равны, а знаки противоположны.

Дано квадратное уравнение $x^2 + rx + 2r - 3 = 0$. Это уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = r$, $c = 2r - 3$.

1) равные корни;

Квадратное уравнение имеет равные корни (или один корень кратности 2), когда его дискриминант $D$ равен нулю. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Подставим наши коэффициенты: $D = r^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2r - 3)$ $D = r^2 - 8r + 12$ Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $r$, при которых корни равны: $r^2 - 8r + 12 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $r$. Решим его. Найдем дискриминант этого уравнения (обозначим $D_r$): $D_r = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$ Корни уравнения для $r$: $r_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $r_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ Таким образом, уравнение имеет равные корни при $r=2$ и $r=6$.

Ответ: $r=2, r=6$.

2) действительные корни, модули которых равны, а знаки противоположны.

Пусть корни уравнения — это $x_1$ и $x_2$. Условие, что их модули равны, а знаки противоположны, означает, что $x_1 = -x_2$ (при условии, что корни не равны нулю). Из этого следует, что сумма корней равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета для нашего уравнения $x^2 + rx + 2r - 3 = 0$. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{r}{1} = -r$. Так как $x_1 + x_2 = 0$, получаем: $-r = 0$ $r = 0$ Теперь необходимо проверить, что при $r=0$ уравнение действительно имеет действительные корни, удовлетворяющие условию. Подставим $r=0$ в исходное уравнение: $x^2 + 0 \cdot x + 2 \cdot 0 - 3 = 0$ $x^2 - 3 = 0$ $x^2 = 3$ Корни этого уравнения: $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$. Эти корни являются действительными, их модули равны ($|\sqrt{3}| = |-\sqrt{3}|$), а знаки противоположны. Также можно проверить значение дискриминанта при $r=0$: $D = r^2 - 8r + 12 = 0^2 - 8 \cdot 0 + 12 = 12$. Так как $D=12 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует нашему результату. Следовательно, условие выполняется при $r=0$.

Ответ: $r=0$.

820. Доказать, что если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 - rx - r = 0$, где $r > 0$, то выполняется неравенство $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3 > 0$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - rx - r = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, и по условию $r > 0$.

Требуется доказать, что выполняется неравенство $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3 > 0$.

Сначала проверим, что данное уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-r)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-r) = r^2 + 4r$.

Так как по условию $r > 0$, то $r^2 > 0$ и $4r > 0$. Следовательно, их сумма $D = r^2 + 4r$ также будет строго больше нуля. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$.

Далее воспользуемся теоремой Виета для нашего уравнения. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$. В нашем случае $p = -r$ и $q = -r$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-r) = r$.

Произведение корней: $x_1x_2 = -r$.

Теперь преобразуем левую часть неравенства, которое нам нужно доказать: $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3$.

Для преобразования суммы кубов $x_1^3 + x_2^3$ используем известную формулу тождества:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) = (a+b)((a+b)^2 - 3ab) = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

Применим последнюю, более удобную формулу:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Теперь мы можем подставить в это выражение найденные по теореме Виета значения для суммы и произведения корней:

$x_1 + x_2 = r$

$x_1x_2 = -r$

Получаем:

$x_1^3 + x_2^3 = (r)^3 - 3(-r)(r) = r^3 + 3r^2$.

Теперь подставим это выражение обратно в исходное неравенство, а также подставим значение для $(x_1x_2)^3$:

$(x_1x_2)^3 = (-r)^3 = -r^3$.

Левая часть неравенства приобретает вид:

$(r^3 + 3r^2) + (-r^3) = r^3 + 3r^2 - r^3 = 3r^2$.

Таким образом, исходное неравенство $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3 > 0$ эквивалентно неравенству $3r^2 > 0$.

По условию задачи нам дано, что $r > 0$. Если $r$ — строго положительное число, то его квадрат $r^2$ также будет строго положительным. Умножение положительного числа $r^2$ на 3 также даст строго положительный результат.

Следовательно, $3r^2 > 0$ является верным утверждением при $r > 0$.

Таким образом, мы доказали, что если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - rx - r = 0$ при $r>0$, то неравенство $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3 > 0$ выполняется.

Ответ: Утверждение доказано. С помощью теоремы Виета устанавливаем, что $x_1+x_2=r$ и $x_1x_2=-r$. Левая часть доказываемого неравенства $x_1^3 + x_2^3 + (x_1x_2)^3$ преобразуется с использованием формулы суммы кубов в выражение $(x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) + (x_1x_2)^3$. После подстановки выражений через $r$ получаем $r^3 - 3(-r)(r) + (-r)^3 = r^3 + 3r^2 - r^3 = 3r^2$. Поскольку по условию $r > 0$, то $3r^2 > 0$, что и требовалось доказать.

821. Доказать, что если $(a+b)^2 > c^2$ и $(a-b)^2 < c^2$, то квадратное уравнение $a^2x^2 + (b^2 + a^2 - c^2)x + b^2 = 0$ не имеет действительных корней.

Для того чтобы доказать, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, необходимо показать, что его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D<0$).

Дано квадратное уравнение: $a^2x^2 + (b^2 + a^2 - c^2)x + b^2 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $A = a^2$, $B = b^2 + a^2 - c^2$, $C = b^2$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (b^2 + a^2 - c^2)^2 - 4 \cdot a^2 \cdot b^2$

$D = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - (2ab)^2$

Полученное выражение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:

$D = (a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)$

Сгруппируем слагаемые в каждом из множителей, чтобы выделить формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$D = ((a^2 - 2ab + b^2) - c^2)((a^2 + 2ab + b^2) - c^2)$

$D = ((a-b)^2 - c^2)((a+b)^2 - c^2)$

Теперь воспользуемся условиями, данными в задаче:

1. По условию $(a+b)^2 > c^2$. Перенеся $c^2$ в левую часть, получаем, что второй множитель в выражении для $D$ положителен: $(a+b)^2 - c^2 > 0$.

2. По условию $(a-b)^2 < c^2$. Перенеся $c^2$ в левую часть, получаем, что первый множитель в выражении для $D$ отрицателен: $(a-b)^2 - c^2 < 0$.

Таким образом, дискриминант $D$ равен произведению отрицательного числа $((a-b)^2 - c^2)$ и положительного числа $((a+b)^2 - c^2)$. Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно.

Следовательно, $D < 0$.

Поскольку дискриминант данного квадратного уравнения меньше нуля, оно не имеет действительных корней. Утверждение доказано.

Ответ: Дискриминант уравнения равен $D = ((a-b)^2 - c^2)((a+b)^2 - c^2)$. Согласно условиям задачи, первый множитель $((a-b)^2 - c^2)$ отрицателен, а второй множитель $((a+b)^2 - c^2)$ положителен. Их произведение отрицательно, поэтому $D < 0$, и уравнение не имеет действительных корней.

822. Доказать, что если уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет действительные корни, то уравнение $x^2 + \left(r + \frac{1}{r}\right)px + q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 = 0$ также имеет действительные корни при любом $r \neq 0$.

Для того чтобы доказать утверждение, нам нужно проанализировать дискриминанты обоих квадратных уравнений. Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен ($D \ge 0$).

1. Анализ первого уравнения.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + px + q = 0$.

Его дискриминант, обозначим его $D_1$, равен:

$D_1 = p^2 - 4q$

По условию задачи, это уравнение имеет действительные корни. Это означает, что его дискриминант неотрицателен:

$D_1 = p^2 - 4q \ge 0$.

Это наше основное условие, которое мы будем использовать в дальнейшем.

2. Анализ второго уравнения.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $x^2 + (r + \frac{1}{r})px + q(r - \frac{1}{r})^2 = 0$.

Для этого уравнения коэффициенты равны:

$a' = 1$

$b' = (r + \frac{1}{r})p$

$c' = q(r - \frac{1}{r})^2$

Найдем его дискриминант, обозначим его $D_2$:

$D_2 = (b')^2 - 4a'c' = \left[\left(r + \frac{1}{r}\right)p\right]^2 - 4 \cdot 1 \cdot q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$

Раскроем скобки:

$D_2 = \left(r + \frac{1}{r}\right)^2 p^2 - 4q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$

Теперь воспользуемся алгебраическим тождеством: $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$. В нашем случае, для $a=r$ и $b=\frac{1}{r}$, имеем:

$(r + \frac{1}{r})^2 = (r - \frac{1}{r})^2 + 4 \cdot r \cdot \frac{1}{r} = (r - \frac{1}{r})^2 + 4$

Подставим это выражение в формулу для $D_2$:

$D_2 = \left[\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 + 4\right]p^2 - 4q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$

Распределим $p^2$:

$D_2 = \left(r - \frac{1}{r}\right)^2 p^2 + 4p^2 - 4q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$

Сгруппируем слагаемые с множителем $(r - \frac{1}{r})^2$:

$D_2 = \left(r - \frac{1}{r}\right)^2 (p^2 - 4q) + 4p^2$

3. Доказательство неотрицательности $D_2$.

Мы получили выражение для $D_2$: $D_2 = (p^2 - 4q)\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 + 4p^2$.

Проанализируем каждое слагаемое в этой сумме:

• Первое слагаемое: $(p^2 - 4q)\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$.
  • Из условия мы знаем, что $p^2 - 4q \ge 0$.
  • Выражение $\left(r - \frac{1}{r}\right)^2$ является квадратом действительного числа (поскольку $r \neq 0$), поэтому оно всегда неотрицательно: $\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 \ge 0$.
  • Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно: $(p^2 - 4q)\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 \ge 0$.
• Второе слагаемое: $4p^2$.
  • $p^2$ является квадратом действительного числа, поэтому $p^2 \ge 0$.
  • Следовательно, $4p^2 \ge 0$.

Дискриминант $D_2$ является суммой двух неотрицательных слагаемых. Сумма неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Таким образом, $D_2 \ge 0$.

Поскольку дискриминант второго уравнения $D_2$ неотрицателен при любом $r \neq 0$, это уравнение всегда имеет действительные корни.

Ответ: Утверждение доказано. Дискриминант второго уравнения $D_2 = (p^2 - 4q)(r - \frac{1}{r})^2 + 4p^2$ является суммой двух неотрицательных слагаемых, поскольку $p^2 - 4q \ge 0$ по условию, а $(r - \frac{1}{r})^2$ и $4p^2$ являются квадратами действительных чисел. Следовательно, $D_2 \ge 0$, и второе уравнение всегда имеет действительные корни.

823. Доказать, что если квадратное уравнение $x^2+px+q=0$, где $p$ и $q$ — целые числа, имеет рациональные корни, то эти корни — целые числа.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$, где коэффициенты $p$ и $q$ являются целыми числами ($p, q \in \mathbb{Z}$). По условию, это уравнение имеет рациональные корни. Необходимо доказать, что эти корни являются целыми числами.

Пусть $x_0$ — один из рациональных корней уравнения. Представим его в виде несократимой дроби:$x_0 = \frac{m}{k}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $k \in \mathbb{N}$ (т.е. $k$ — натуральное число), и наибольший общий делитель НОД$(m, k) = 1$.

Поскольку $x_0$ является корнем уравнения, он обращает его в верное равенство при подстановке:

$(\frac{m}{k})^2 + p(\frac{m}{k}) + q = 0$

$\frac{m^2}{k^2} + \frac{pm}{k} + q = 0$

Умножим обе части уравнения на $k^2$, чтобы избавиться от знаменателей:

$m^2 + pmk + qk^2 = 0$

Выразим из этого равенства член $m^2$:

$m^2 = -pmk - qk^2$

Вынесем $k$ за скобки в правой части:

$m^2 = -k(pm + qk)$

Из полученного равенства следует, что правая часть делится на $k$ (поскольку является произведением $k$ и целого числа $-(pm + qk)$). Значит, и левая часть, то есть $m^2$, также должна делиться на $k$.

Итак, мы имеем два условия:

1. $m^2$ делится на $k$.

2. НОД$(m, k) = 1$ (дробь $\frac{m}{k}$ несократима).

Если два числа $m$ и $k$ взаимно просты (не имеют общих простых делителей), то и $m^2$ и $k$ также взаимно просты. Единственный способ, которым натуральное число $k$ может делить $m^2$ при условии, что они взаимно просты, — это если $k=1$.

Поскольку $k=1$, наш корень $x_0 = \frac{m}{k} = \frac{m}{1} = m$ является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что любой рациональный корень данного уравнения должен быть целым. Если у уравнения два рациональных корня, то, применив то же рассуждение ко второму корню, мы получим, что он также является целым.

Также целочисленность второго корня можно показать с помощью теоремы Виета. Если $x_0$ и $x_1$ — корни, то их сумма $x_0 + x_1 = -p$. Тогда второй корень $x_1 = -p - x_0$. Так как $p$ — целое число по условию, и мы доказали, что $x_0$ — целое число, то их разность $(-p - x_0)$ также является целым числом. Следовательно, и второй корень $x_1$ является целым.

Ответ: Утверждение доказано. Если квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ с целыми коэффициентами $p$ и $q$ имеет рациональные корни, то эти корни являются целыми числами.

824. Каким условиям удовлетворяют числа a и b, если биквадратное уравнение $x^4 - (a+b)x^2 + ab = 0$ имеет четыре различных действительных корня?

Дано биквадратное уравнение $x^4 - (a+b)x^2 + ab = 0$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как по условию корни $x$ должны быть действительными, то $x^2 \ge 0$, следовательно, $y \ge 0$. После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - (a+b)y + ab = 0$.

Чтобы исходное биквадратное уравнение имело четыре различных действительных корня, необходимо и достаточно, чтобы это квадратное уравнение относительно $y$ имело два различных положительных корня (то есть $y_1 > 0$ и $y_2 > 0$, причём $y_1 \ne y_2$). В этом случае каждое из уравнений $x^2 = y_1$ и $x^2 = y_2$ будет иметь по два различных действительных корня ($x = \pm\sqrt{y_1}$ и $x = \pm\sqrt{y_2}$), и все четыре корня для $x$ будут различны.

Квадратное уравнение имеет два различных положительных корня, если выполнены три условия: дискриминант больше нуля, сумма корней больше нуля и произведение корней больше нуля. Применим эти условия к уравнению $y^2 - (a+b)y + ab = 0$.

1. Дискриминант $D$ должен быть положительным.
$D = (-(a+b))^2 - 4 \cdot 1 \cdot ab = (a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Условие $D > 0$ означает $(a-b)^2 > 0$, что равносильно $a \ne b$.

2. Сумма корней $y_1 + y_2$ должна быть положительной.
По теореме Виета, $y_1 + y_2 = a+b$.
Следовательно, $a+b > 0$.

3. Произведение корней $y_1 \cdot y_2$ должно быть положительным.
По теореме Виета, $y_1 \cdot y_2 = ab$.
Следовательно, $ab > 0$.

Таким образом, числа $a$ и $b$ должны удовлетворять системе неравенств: $$ \begin{cases} a \ne b \\ a+b > 0 \\ ab > 0 \end{cases} $$

Проанализируем эту систему. Из условия $ab > 0$ следует, что $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные). Если предположить, что $a < 0$ и $b < 0$, то их сумма $a+b$ также будет отрицательной, что противоречит условию $a+b > 0$. Значит, $a$ и $b$ должны быть оба положительными: $a > 0$ и $b > 0$. Если $a > 0$ и $b > 0$, то условие $a+b > 0$ выполняется автоматически.

В итоге, для того чтобы биквадратное уравнение имело четыре различных действительных корня, необходимо и достаточно, чтобы числа $a$ и $b$ были положительными и не равными друг другу.

Ответ: $a > 0$, $b > 0$, $a \ne b$.

825. Доказать, что если $r<0$, то квадратное уравнение

$x^2 - 2(r-1)x + 2r + 1 = 0$

имеет действительные корни. При каких значениях $r$ ($r<0$) оба корня этого уравнения отрицательны?

Доказать, что если r < 0, то квадратное уравнение $x^2-2(r-1)x+2r+1=0$ имеет действительные корни.

Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$). Для заданного уравнения $x^2-2(r-1)x+2r+1=0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=-2(r-1)$, $c=2r+1$.Поскольку коэффициент $b$ является четным, для удобства вычислений найдем дискриминант, деленный на 4, который обозначается как $D/4$ или $D_1$:$D/4 = (b/2)^2 - ac = (-(r-1))^2 - 1 \cdot (2r+1) = (r-1)^2 - (2r+1)$.Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$D/4 = (r^2 - 2r + 1) - 2r - 1 = r^2 - 4r$.

Условие наличия действительных корней — $D/4 \ge 0$, то есть $r^2 - 4r \ge 0$. Разложим левую часть этого неравенства на множители: $r(r-4) \ge 0$.Рассмотрим это неравенство при заданном условии $r < 0$.Если $r < 0$, то множитель $r$ отрицателен.Если $r < 0$, то множитель $(r-4)$ также будет отрицателен (поскольку $r-4 < 0-4 = -4$).Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Следовательно, при $r < 0$ всегда выполняется строгое неравенство $r(r-4) > 0$.

Поскольку для любого $r<0$ дискриминант $D = 4(r^2-4r)$ строго положителен, данное квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

При каких значениях r (r < 0) оба корня этого уравнения отрицательны?

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Чтобы оба корня были отрицательными, должны одновременно выполняться три условия (для параболы с ветвями вверх, как в нашем случае, где $a=1>0$):1. Наличие действительных корней ($D \ge 0$). Как мы доказали в первой части, для всех $r < 0$ это условие выполняется ($D > 0$).2. Сумма корней должна быть отрицательной: $x_1 + x_2 < 0$.3. Произведение корней должно быть положительным: $x_1 \cdot x_2 > 0$.

Применим теорему Виета к уравнению $x^2 - 2(r-1)x + 2r + 1 = 0$:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2(r-1)) = 2(r-1)$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2r+1$.

Теперь составим систему неравенств с учетом исходного условия $r<0$:$\begin{cases} r < 0 \\ x_1 + x_2 < 0 \\ x_1 \cdot x_2 > 0\end{cases}\implies\begin{cases} r < 0 \\ 2(r-1) < 0 \\ 2r+1 > 0\end{cases}$

Решим эту систему неравенств:Из второго неравенства: $2(r-1) < 0 \implies r-1 < 0 \implies r < 1$.Из третьего неравенства: $2r+1 > 0 \implies 2r > -1 \implies r > -1/2$.

Необходимо найти пересечение трех полученных условий: $r < 0$, $r < 1$ и $r > -1/2$.Условие $r < 1$ является избыточным, так как оно следует из условия $r < 0$.Следовательно, искомые значения $r$ должны удовлетворять системе из двух неравенств:$\begin{cases} r < 0 \\ r > -1/2\end{cases}$Это соответствует интервалу $-1/2 < r < 0$.

Ответ: $r \in (-1/2; 0)$.

826. Найти все значения $a$, при которых уравнения $x^2 + ax + 1 = 0$ и $x^2 + x + a = 0$ имеют хотя бы один общий действительный корень.

Пусть $x_0$ — общий действительный корень данных уравнений. Это означает, что $x_0$ является решением как первого, так и второго уравнения. Следовательно, для $x_0$ верны следующие равенства:

$\begin{cases}x_0^2 + ax_0 + 1 = 0 \\x_0^2 + x_0 + a = 0\end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $x_0^2$:

$(x_0^2 + ax_0 + 1) - (x_0^2 + x_0 + a) = 0$

$ax_0 - x_0 + 1 - a = 0$

Сгруппируем члены, чтобы выразить $x_0$:

$x_0(a - 1) - (a - 1) = 0$

$(a - 1)(x_0 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: $a - 1 = 0$

В этом случае $a = 1$. Подставим это значение в оба исходных уравнения. Они станут идентичными:

$x^2 + 1 \cdot x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 + x + 1 = 0$

Чтобы определить, есть ли у этого уравнения действительные корни, найдем его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, при $a=1$ у уравнений нет общих действительных корней, и это значение нам не подходит.

Случай 2: $x_0 - 1 = 0$

В этом случае общий корень $x_0 = 1$. Подставим это значение в любое из исходных уравнений, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$. Используем второе уравнение $x^2 + x + a = 0$:

$1^2 + 1 + a = 0$

$1 + 1 + a = 0$

$2 + a = 0$

$a = -2$

Теперь необходимо выполнить проверку: убедиться, что при $a = -2$ уравнения действительно имеют общий действительный корень.

Первое уравнение при $a = -2$:

$x^2 + (-2)x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0$

Это уравнение имеет один действительный корень $x=1$.

Второе уравнение при $a = -2$:

$x^2 + x + (-2) = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$

Найдем его корни (например, по теореме Виета или через дискриминант): $(x+2)(x-1) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

При $a = -2$ оба уравнения имеют общий действительный корень $x = 1$. Следовательно, это значение параметра $a$ является решением задачи.

Ответ: $a = -2$.

827. Пусть $a$, $b$, $c$ — различные числа, причём $c \ne 0$. Доказать, что если уравнения $x^2 + ax + bc = 0$ и $x^2 + bx + ca = 0$ имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений являются корнями уравнения $x^2 + cx + ab = 0$.

Пусть $x_0$ — общий корень уравнений $x^2 + ax + bc = 0$ и $x^2 + bx + ca = 0$.Тогда $x_0$ удовлетворяет обоим уравнениям:
$x_0^2 + ax_0 + bc = 0 \quad (1)$
$x_0^2 + bx_0 + ca = 0 \quad (2)$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(x_0^2 + ax_0 + bc) - (x_0^2 + bx_0 + ca) = 0$
$ax_0 - bx_0 + bc - ca = 0$
$x_0(a - b) - c(a - b) = 0$
$(x_0 - c)(a - b) = 0$

По условию, числа $a$ и $b$ различны, следовательно, $a - b \ne 0$.Тогда из последнего равенства следует, что $x_0 - c = 0$, то есть $x_0 = c$.Таким образом, общий корень двух уравнений — это $c$.

Поскольку $x_0 = c$ является корнем первого уравнения, подставим его в уравнение (1):
$c^2 + a \cdot c + bc = 0$
$c(c + a + b) = 0$

По условию, $c \ne 0$. Следовательно, должно выполняться равенство:
$a + b + c = 0$

Теперь найдем другие корни данных уравнений, используя теорему Виета.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + ax + bc = 0$. Мы уже знаем, что один из корней, скажем $x_1$, равен $c$.
По теореме Виета, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = bc$.
Подставляем $x_1 = c$:
$c \cdot x_2 = bc$
Так как $c \ne 0$, мы можем разделить обе части на $c$, получая $x_2 = b$.
Итак, второй (другой) корень первого уравнения — это $b$.

Аналогично, пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения $x^2 + bx + ca = 0$. Один из корней, $y_1$, равен $c$.
По теореме Виета, произведение корней равно $y_1 \cdot y_2 = ca$.
Подставляем $y_1 = c$:
$c \cdot y_2 = ca$
Так как $c \ne 0$, делим на $c$ и получаем $y_2 = a$.
Итак, второй (другой) корень второго уравнения — это $a$.

Таким образом, "другие" корни исходных уравнений — это $a$ и $b$. Нам нужно доказать, что они являются корнями уравнения $x^2 + cx + ab = 0$.

Снова воспользуемся теоремой Виета (в обратную сторону). Если $a$ и $b$ являются корнями некоторого приведенного квадратного уравнения, то это уравнение имеет вид $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.
Рассмотрим уравнение, которое нам дано: $x^2 + cx + ab = 0$.
1. Свободный член этого уравнения равен $ab$, что совпадает с произведением наших чисел $a$ и $b$.
2. Коэффициент при $x$ равен $c$. В уравнении, составленном по корням $a$ и $b$, этот коэффициент равен $-(a+b)$.

Ранее мы установили, что $a + b + c = 0$. Отсюда следует, что $a + b = -c$, или $c = -(a+b)$.
Подставим это в наше целевое уравнение:
$x^2 + (-(a+b))x + ab = 0$
$x^2 - (a+b)x + ab = 0$
Это в точности уравнение, корнями которого являются $a$ и $b$. Следовательно, $a$ и $b$ являются корнями уравнения $x^2 + cx + ab = 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

828. Найти все значения $r$, при которых корни квадратного уравнения $(r-4)x^2-2(r-3)x+r=0$ положительны.

Рассмотрим данное уравнение $(r-4)x^2 - 2(r-3)x + r = 0$. Для того чтобы корни этого уравнения были положительны, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Уравнение является линейным
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $r - 4 = 0 \implies r = 4$.
Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы найти его корень:
$(4-4)x^2 - 2(4-3)x + 4 = 0$
$0 \cdot x^2 - 2(1)x + 4 = 0$
$-2x + 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
Корень уравнения $x=2$ является положительным числом. Следовательно, значение $r=4$ является решением задачи.

Случай 2: Уравнение является квадратным
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $r-4 \neq 0 \implies r \neq 4$.
Для того чтобы квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имело два положительных корня (включая случай совпадающих корней, $x_1=x_2$), должны одновременно выполняться три условия:
1. Дискриминант должен быть неотрицательным ($D \ge 0$), что обеспечивает наличие действительных корней.
2. Произведение корней должно быть положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$). По теореме Виета, это означает $\frac{c}{a} > 0$.
3. Сумма корней должна быть положительной ($x_1 + x_2 > 0$). По теореме Виета, это означает $-\frac{b}{a} > 0$.

Применим эти условия к нашему уравнению, где коэффициенты $a = r-4$, $b = -2(r-3)$, $c = r$.

1. Условие на дискриминант
$D = b^2 - 4ac = (-2(r-3))^2 - 4(r-4)r \ge 0$
$4(r-3)^2 - 4r(r-4) \ge 0$
Разделим обе части на 4 для упрощения:
$(r^2 - 6r + 9) - (r^2 - 4r) \ge 0$
$r^2 - 6r + 9 - r^2 + 4r \ge 0$
$-2r + 9 \ge 0$
$9 \ge 2r$
$r \le \frac{9}{2}$ или $r \le 4.5$.

2. Условие на произведение корней
$\frac{c}{a} = \frac{r}{r-4} > 0$.
Решаем это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $r=0$ и $r=4$. Они разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$. Проверяя знак дроби на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $r \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

3. Условие на сумму корней
$-\frac{b}{a} = -\frac{-2(r-3)}{r-4} = \frac{2(r-3)}{r-4} > 0$.
Так как 2 - положительное число, неравенство сводится к $\frac{r-3}{r-4} > 0$.
Решаем методом интервалов. Корни: $r=3$ и $r=4$. Интервалы: $(-\infty, 3)$, $(3, 4)$ и $(4, +\infty)$. Проверяя знак, получаем, что неравенство выполняется при $r \in (-\infty, 3) \cup (4, +\infty)$.

Объединение условий для квадратного случая
Теперь найдем пересечение всех трех полученных множеств решений:
1) $r \in (-\infty, 4.5]$
2) $r \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$
3) $r \in (-\infty, 3) \cup (4, +\infty)$

Сначала найдем пересечение условий (2) и (3): $((-\infty, 0) \cup (4, +\infty)) \cap ((-\infty, 3) \cup (4, +\infty)) = (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.
Затем пересечем полученный результат с условием (1): $((-\infty, 0) \cup (4, +\infty)) \cap (-\infty, 4.5]$.
Это дает нам итоговое множество для квадратного случая: $r \in (-\infty, 0) \cup (4, 4.5]$.

Итоговый результат
Объединим решения, полученные в обоих случаях:
Из случая 1 (линейное уравнение): $r = 4$.
Из случая 2 (квадратное уравнение): $r \in (-\infty, 0) \cup (4, 4.5]$.
Объединение этих множеств дает окончательный ответ.

Ответ: $r \in (-\infty, 0) \cup [4, 4.5]$.

829. Доказать, что корни уравнения $x^2+px+q=0$ действительные и отрицательные только тогда, когда $p^2-4q\ge 0$, $p>0$, $q>0$.

Для доказательства утверждения типа «тогда и только тогда» необходимо доказать две части: необходимость и достаточность.

Необходимость (⇒)

Предположим, что корни уравнения $x^2+px+q=0$, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, являются действительными и отрицательными. Докажем, что из этого следуют условия $p^2-4q \ge 0$, $p>0$ и $q>0$.

1. Так как корни уравнения действительные, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным. Для данного уравнения $D = p^2-4q$. Следовательно, должно выполняться условие $p^2-4q \ge 0$.

2. Воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $x_1+x_2 = -p$, а их произведение равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

По условию, оба корня отрицательны: $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$.
Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна, поэтому $x_1+x_2 < 0$. Из этого следует, что $-p < 0$, что равносильно $p>0$.
Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно, поэтому $x_1 \cdot x_2 > 0$. Из этого следует, что $q>0$.

Таким образом, если корни уравнения действительные и отрицательные, то все три условия ($p^2-4q \ge 0$, $p>0$ и $q>0$) обязательно выполняются.

Достаточность (⇐)

Теперь предположим, что для коэффициентов уравнения $x^2+px+q=0$ выполняются условия $p^2-4q \ge 0$, $p>0$ и $q>0$. Докажем, что корни этого уравнения являются действительными и отрицательными.

1. Условие $p^2-4q \ge 0$ означает, что дискриминант $D$ уравнения неотрицателен. Это является достаточным условием для того, чтобы уравнение имело действительные корни.

2. Снова обратимся к теореме Виета: $x_1+x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.
Из условия $q>0$ следует, что произведение корней $x_1 \cdot x_2$ положительно. Это возможно только если корни имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны).
Из условия $p>0$ следует, что сумма корней $x_1+x_2 = -p$ отрицательна. Сумма двух чисел одинакового знака может быть отрицательной только в том случае, если оба числа отрицательны.

Следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ являются действительными и отрицательными.

Поскольку мы доказали и необходимость, и достаточность, исходное утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано.